已知 $\alpha e^{\alpha}=e^{2}$，$\beta(\ln\beta-1)=e^{3}$，则 $\alpha\beta$ 的值为 __

题干图字迹重叠严重，依解答反推题干（⟨注⟩：原题应为"已知 $\alpha e^{\alpha}=e^2$，$\beta(\ln\beta-1)=e^3$，且 $\alpha>1,\ \beta>1$，则 $\alpha\beta$ 的值为_"）。

解答

解：$\because\ \alpha e^{\alpha}=e^{2}$，$\beta(\ln\beta-1)=e^{3}$

$\therefore\ \ln\alpha e^{\alpha}=\ln e^{2}$，$\ln\beta(\ln\beta-1)=\ln e^{3}$ 且 $\alpha>1$，$\beta>1$

$\therefore\ \ln\alpha+\alpha-2=0$，$\ln\beta+\ln(\ln\beta-1)-3=0$

$\therefore\ (\ln\beta-1)+\ln(\ln\beta-1)=2$

设 $f(x)=\ln x+x-2$，则 $f'(x)=\dfrac{1}{x}+1$

$\therefore\ f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单增

$\because\ f(1)=-1<0$，$f(2)=\ln 2>0$

$\therefore\ \ln x+x-2=0$ 在 $(1,2)$ 上有且只有一个解

$\therefore\ \alpha=\ln\beta-1$

答案： $\alpha\beta=e^{3}$