多选三次函数（安徽省黄山市 2023 届高三第一次质量检测数学试题）

题 12：对于函数 $f(x)=x^3-2x^2+ax+b$（$a,b\in R$），则（　　）

A. $f(x)$ 是单调函数的充要条件是 $a>\dfrac43$

B. $f(x)$ 图像一定是中心对称图形

C. 若 $a=0$，且 $f(x)$ 恰有一个零点，则 $b<0$ 或者 $b>\dfrac{32}{27}$

D. 若 $f(x)$ 的三个零点 $x_1$，$x_2$，$x_3$ 恰为某三角形的三边长，则 $a+b>1$

【答案】BCD

【解析】

对于 A：

$\because\ f'(x)=3x^2-4x+a$

$\therefore$ 若 $f(x)$ 是单调函数需 $3x^2-4x+a\ge0$ 恒成立，

$\Delta=16-12a\le0$，

$\therefore\ a\ge\dfrac43$，故 A 错误（充要条件应为 $a\ge\dfrac43$，而非 $a>\dfrac43$）。

对于 B：B 显然正确，且对称中心为 $\left(\dfrac23,f\left(\dfrac23\right)\right)$。

对于 C：

若 $f(x)$ 有一个零点，则 $x^3-2x^2+b=0$ 有一个解，

$\therefore\ b=-x^3+2x^2$ 有一个解。

设 $g(x)=-x^3+2x^2$，$g'(x)=-3x^2+4x$。

$\therefore\ x<0$ 和 $x>\dfrac43$ 时 $g(x)$ 单减，$0<x<\dfrac43$ 时 $g(x)$ 单增。

$\therefore\ g(x)$ 极小值为 $g(x)=0$，极大值为 $g\left(\dfrac43\right)=\dfrac{32}{27}$。

如右图所示（$g(x)$ 的图像：从 $+\infty$ 递减过原点，升到极大值 $\frac{32}{27}$，再递减到 $-\infty$）。

$\therefore\ b<0$ 或 $b>\dfrac{32}{27}$，故 C 正确。

对于 D：

依题 $f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

$$=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)x-x_1x_2x_3$$

\therefore\ \begin{cases}x_1+x_2+x_3=2\\ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=a\\ -x_1x_2x_3=b\end{cases}

$\because\ x_1$、$x_2$、$x_3$ 为三角形三边边长，

$\therefore\ x_1+x_2>x_3$，$x_1+x_3>x_2$，$x_2+x_3>x_1$，

$\therefore\ 2-x_3>x_3$，$2-x_2>x_2$，$2-x_1>x_1$，

$\therefore\ 1-x_3>0$，$1-x_2>0$，$1-x_1>0$，

$\therefore\ (1-x_1)(1-x_2)(1-x_3)>0$，

$\therefore\ 1-(x_1+x_2+x_3)+(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)-x_1x_2x_3>0$，

$\therefore\ a+b>1$，故 D 正确。

多选 三次函数