已知椭圆上三点P,Q,R,三角形面积

12. 已知 $P,Q,R$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{9}=1$ 上不同的三点，记 $\triangle OPQ,\triangle OPR,\triangle ORQ$ 的面积分别为 $S_{1},S_{2},S_{3}\ (S_{i}>0,i=1,2,3$，$O$ 为坐标原点$)$。若 $S_{1}^{2}+S_{2}^{2}=S_{3}^{2}$，则（　　）

A. $OQ\perp OR$　　B. $|OQ|^{2}+|OR|^{2}=25$

C. $S_{3}=6$　　D. $\dfrac{1}{|OQ|^{2}}+\dfrac{1}{|OR|^{2}}$ 为定值

解： 设点 $P(4\cos\alpha,3\sin\alpha)$，$Q(4\cos\beta,3\sin\beta)$，$R(4\cos\gamma,3\sin\gamma)$，

则 $S_{1}=6|\sin(\alpha-\beta)|$，$S_{2}=6|\sin(\alpha-\gamma)|$，$S_{3}=6|\sin(\beta-\gamma)|$

$\because S_{1}^{2}+S_{2}^{2}=S_{3}^{2}$

$\therefore \sin^{2}(\alpha-\beta)+\sin^{2}(\alpha-\gamma)=\sin^{2}(\beta-\gamma)$

$\sin^{2}(\alpha-\beta)=\dfrac{1-\cos(2\beta-2\gamma)}{2}-\dfrac{1-\cos(2\alpha-2\gamma)}{2}=\dfrac{\cos(2\alpha-2\gamma)-\cos(2\beta-2\gamma)}{2}$

$=\dfrac{(\cos2\alpha-\cos2\beta)\cos2\gamma+(\sin2\alpha-\sin2\beta)\sin2\gamma}{2}$

$=\dfrac{-2\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)\cos2\gamma+2\cos(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)\sin2\gamma}{2}$

由 $\sin(\alpha-\beta)\ne 0$：

$\sin(\alpha-\beta)=\sin2\gamma\cos(\alpha+\beta)-\cos2\gamma\sin(\alpha+\beta)=\sin(2\gamma-\alpha-\beta)$

$\therefore \alpha-\beta+2\gamma-\alpha-\beta=\pi$，即 $\gamma-\beta=\dfrac{\pi}{2}$

对于选项 A：

$\overrightarrow{OR}\cdot\overrightarrow{OQ}=(4\cos\gamma,3\sin\gamma)\cdot(4\cos\beta,3\sin\beta)$

$=16\cos\gamma\cos\beta+9\sin\gamma\sin\beta$

$=-16\sin\beta\cos\beta+9\cos\beta\sin\beta=-\dfrac{7}{2}\sin2\beta\ne 0$

故 A 错误。

对于选项 B：

$|OQ|^{2}+|OR|^{2}=16\cos^{2}\gamma+9\sin^{2}\gamma+16\cos^{2}\beta+9\sin^{2}\beta$

$=25\sin^{2}\beta+25\cos^{2}\beta=25$。故选项 B 正确。

对于选项 C：

$S_{3}=6|\sin(\beta-\gamma)|=6\sin\dfrac{\pi}{2}=6$。故选项 C 正确。

对于选项 D：

$\dfrac{1}{|OQ|^{2}}+\dfrac{1}{|OR|^{2}}=\dfrac{1}{16\cos^{2}\beta+9\sin^{2}\beta}+\dfrac{1}{16\cos^{2}\gamma+9\sin^{2}\gamma}$

$=\dfrac{1}{16\cos^{2}\beta+9\sin^{2}\beta}+\dfrac{1}{16\sin^{2}\beta+9\cos^{2}\beta}$

$=\dfrac{25}{144+49\sin^{2}\beta\cos^{2}\beta}$

显然不为定值，故 D 错误。