eˣ ≥ 3ax+2b 恒成立

题目：已知不等式 $e^{x-\frac{1}{a}}\ge 3ax+2b$ 对任意的实数 $x$ 恒成立，则 $\dfrac{b}{a}$ 的最大值为 。

简析：原式可化为 $e^{x-\frac{1}{a}}-3ax-2b\ge 0$ 恒成立。

设 $f(x)=e^{x-\frac{1}{a}}-3ax-2b$，则 $f'(x)=e^{x-\frac{1}{a}}-3a$。

$a\le 0$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单增；

$\because\ x\to-\infty$ 时，$f(x)\to-\infty$，不合题意。

$a>0$ 时，$x>\ln 3a+\dfrac{1}{a}$ 时 $f'(x)>0$，$0<x<\ln 3a+\dfrac{1}{a}$ 时 $f'(x)<0$，

$\therefore\ f(x)_{\min}=f\!\left(\ln 3a+\dfrac{1}{a}\right)=3a-3a\left(\ln 3a+\dfrac{1}{a}\right)-2b\ge 0$

$\therefore\ 2b\le 3a-3a\ln 3a-3$

$\therefore\ \dfrac{2b}{a}\le 3-3\ln 3-3\ln a-\dfrac{3}{a}$

设 $g(a)=-3\ln a-\dfrac{3}{a}+3-3\ln 3$，则 $g'(a)=\dfrac{3(1-a)}{a^2}$

$\therefore\ 0<a<1$ 时 $g(a)$ 单增，$a>1$ 时 $g(a)$ 单减

$\therefore\ g(a)_{\max}=g(1)=-3\ln 3$

$\therefore\ \dfrac{b}{a}\le-\dfrac{3\ln 3}{2}$

故 $\dfrac{b}{a}$ 的最大值为 $\boxed{-\dfrac{3\ln 3}{2}}$。