比较大小（指对三角）黑龙江大庆市 2023 届高三三模数学试题

题目：已知 $a=\mathrm e^{-3}$，$b=\ln1.02$，$c=\sin0.04$，则（　　）

A. $a<b<c$　　B. $b<c<a$　　C. $c<b<a$　　D. $b<a<c$

解答

解：如图，单位圆 $A$ 中，$\angle BAC=\theta$（不妨设 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$），$BD\perp AC$ 于 $D$，则弧 $BC$ 的长度 $l=\theta$，$|BD|=\sin\theta$。

由图易得 $l>|BC|>|BD|$，即 $\theta>\sin\theta$。

所以 $a=\mathrm e^{-3}=\dfrac{1}{\mathrm e^3}>\dfrac{1}{25}=0.04>\sin0.04=c$。

设 $f(x)=\sin2x-\ln(1+x)$，$x\in\left(0,\dfrac{\pi}{6}\right)$，

则 $f'(x)=2\cos2x-\dfrac{1}{1+x}>1-\dfrac{1}{1+x}>0$。

所以 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{\pi}{6}\right)$ 上单调递增，则 $f(0.02)>0$，

即 $\sin0.04>\ln1.02$，即 $b<c$。

综上，$b<c<a$。

故选：B