xlnx − mlnx ≥ x+n 恒成立

题目：已知不等式 $x\ln x-m\ln x\ge x+n$ 对 $\forall x>0$ 恒成立，则当 $\dfrac{n}{m}$ 取最大值时，$m=$ 。

简析一

令 $t=\ln x$，则 $te^t-mt\ge e^t+n$ 恒成立

$\therefore\ (t-1)e^t\ge mt+n$ 恒成立

设 $f(t)=(t-1)e^t$，则 $f'(t)=te^t$

$\therefore\ t>0$ 时 $f(t)$ 单增，$t<0$ 时 $f(t)$ 单减，图像如下图

∴ 函数最小值 $f(0)=-1$，零值点为 $x=1$

$(t-1)e^t\ge mt+n$ 恒成立即 $f(t)$ 图像恒在 $y=mt+n$ 直线上方

∵ 函数图像过 $(1,0)$ 点切线斜率为 $f'(1)=e$

$\therefore\ -\dfrac{n}{m}\ge 1$，$m\le e$

$\therefore\ \dfrac{n}{m}\le -1$，此时 $m=e$

原式可化为 $x\ln x-m\ln x-x\ge n$ 恒成立

设 $f(x)=x\ln x-m\ln x-x$，则 $f'(x)=\dfrac{x\ln x-m}{x}$

设 $g(x)=x\ln x$，则 $g'(x)=\ln x+1$

$\therefore\ 0<x<\dfrac{1}{e}$ 时 $g(x)$ 单减，$x>\dfrac{1}{e}$ 时 $g(x)$ 单增

$g(x)_{\min}=g\!\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{1}{e}$

① $m\le-\dfrac{1}{e}$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单增，不合题意

② $-\dfrac{1}{e}<m<0$ 时，存在 $x_1\ln x_1=x_2\ln x_2=m$

$(0,x_1)$ $f(x)$ 单增，$(x_1,x_2)$ $f(x)$ 单减，$(x_2,+\infty)$ $f(x)$ 单增

此时 $f(x)$ 不存在最小值，不合题意

③ $m>0$ 时，存在 $x_1\ge 1$，使得 $x_1\ln x_1=m$

$(0,x_1)$ $f(x)$ 单减，$(x_1,+\infty)$ $f(x)$ 单增

$\therefore\ f(x)_{\min}=x_1\ln x_1-m\ln x_1-x_1\ge n$

$\therefore\ \dfrac{n}{m}\le 1-\left(\ln x_1+\dfrac{1}{\ln x_1}\right)\le -1$

当且仅当 $\ln x_1=1$，即 $x_1=e$ 时等号成立

$\therefore\ \dfrac{n}{m}$ 取得最大值时 $m=\boxed{e}$。