椭圆焦点三角形外接圆圆x²+y²-4√3y-4=0与椭圆

12. 已知圆 $C:x^{2}+y^{2}-4\sqrt{3}y-4=0$ 经过椭圆 $\Omega:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>b>0)$ 的两个焦点 $F_{1},F_{2}$，圆 $C$ 和椭圆 $\Omega$ 在第二象限的交点为 $N$，$\overrightarrow{NF_{1}}\cdot\overrightarrow{NF_{2}}=16\sqrt{3}-24$，则椭圆 $\Omega$ 的离心率为（　　）

(A) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$　　(B) $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$　　(C) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$　　(D) $\dfrac{1}{2}$

解题思路：

解：易知 $F_{1}(-2,0)$，$F_{2}(2,0)$，$a^{2}-b^{2}=4$

设点 $N\left(x_{1},y_{1}\right)$

依题可得 $\left(x_{1}+2,y_{1}\right)\cdot\left(x_{1}-2,y_{1}\right)=16\sqrt{3}-24$

$\therefore x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=16\sqrt{3}-20$

又 $\because x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=4\sqrt{3}y_{1}+4$

$\therefore x_{1}^{2}=32\sqrt{3}-48$，$y_{1}^{2}=28-16\sqrt{3}$

代入椭圆方程中得

$\left(32\sqrt{3}-48\right)\left(a^{2}-4\right)+\left(28-16\sqrt{3}\right)a^{2}=a^{2}\left(a^{2}-4\right)$

$\therefore a^{4}+16\left(1-\sqrt{3}\right)a^{2}+64\left(2\sqrt{3}-3\right)=0$

$\therefore a^{2}=8$ 或者 $a^{2}=8\left(2\sqrt{3}-3\right)$

$\because 2\sqrt{3}-3=0.464<0.5$

$\therefore a^{2}=8\left(2\sqrt{3}-3\right)<4$（不合题意）

$\therefore a^{2}=8$

$\therefore e^{2}=4/8=1/2$，$e=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

故选 C。