双曲线 M,N分别为三角形内心 - 副本

16. 已知双曲线 $C:\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{y^{2}}{6}=\lambda$ 过点 $\left(\sqrt{5},\sqrt{3}\right)$，则其方程为。设 $F_{1}$，$F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ 的左右焦点，$E$ 为右顶点，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线 $C$ 的右支交于 $A$，$B$ 两点（其中点 $A$ 在第一象限），设 $M$，$N$ 分别为 $\triangle AF_{1}F_{2}$，$\triangle BF_{1}F_{2}$ 的内心，则 $\left||ME|-|NE|\right|$ 的取值范围是。

【答案】 ①. $\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{12}=1$　　②. $\left(-\dfrac{4\sqrt{3}}{3},\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)$

【解析】

【详解】 ①由双曲线 $C:\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{y^{2}}{6}=\lambda$ 过点 $\left(\sqrt{5},\sqrt{3}\right)$，所以 $\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{6}=\lambda\Rightarrow\lambda=2$

所以方程为 $\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{12}=1$

②如图：

设 $\triangle AF_{1}F_{2}$ 的内切圆与 $AF_{1}$，$AF_{2}$，$F_{1}F_{2}$ 分别切于 $H,D,G$，

所以 $\left|AH\right|=\left|AD\right|$，$\left|HF_{1}\right|=\left|GF_{1}\right|$，$\left|DF_{2}\right|=\left|GF_{2}\right|$，

所以 $\left|AF_{1}\right|-\left|AF_{2}\right|=\left|AH\right|+\left|HF_{1}\right|-\left(\left|AD\right|+\left|DF_{2}\right|\right)=\left|HF_{1}\right|-\left|DF_{2}\right|=\left|GF_{1}\right|-\left|GF_{2}\right|=2a$，

又 $\left|GF_{1}\right|+\left|GF_{2}\right|=2c$，所以 $\left|GF_{1}\right|=a+c$，$\left|GF_{2}\right|=c-a$，

又 $\left|EF_{1}\right|=a+c$，$\left|EF_{2}\right|=c-a$，所以 $G$ 与 $E\left(a,0\right)$ 重合，所以 $M$ 的横坐标为 $a$，同理可得 $N$ 的横坐标也为 $a$，

设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则 $\angle EF_{2}M=\dfrac{\pi-\theta}{2}$，$\angle EF_{2}N=\dfrac{\theta}{2}$，

$\left|ME\right|-\left|NE\right|=\left(c-a\right)\tan\dfrac{\pi-\theta}{2}-\left(c-a\right)\tan\dfrac{\theta}{2}$

$=\left(c-a\right)\cdot\left[\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\theta}{2}\right)}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\theta}{2}\right)}-\dfrac{\sin\dfrac{\theta}{2}}{\cos\dfrac{\theta}{2}}\right]$

$=\left(c-a\right)\cdot\left(\dfrac{\cos\dfrac{\theta}{2}}{\sin\dfrac{\theta}{2}}-\dfrac{\sin\dfrac{\theta}{2}}{\cos\dfrac{\theta}{2}}\right)$

$=\left(c-a\right)\cdot\dfrac{\cos^{2}\dfrac{\theta}{2}-\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}}{\sin\dfrac{\theta}{2}\cdot\cos\dfrac{\theta}{2}}$

$=\left(c-a\right)\dfrac{2\cos\theta}{\sin\theta}$，

当 $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ 时，$\left|ME\right|-\left|NE\right|=0$，

当 $\theta\ne\dfrac{\pi}{2}$ 时，由题知 $a=2$，$c=4$，$\dfrac{b}{a}=\sqrt{3}$，

因为 $A,B$ 两点都在双曲线的右支上，$\therefore\dfrac{\pi}{3}<\theta<\dfrac{2\pi}{3}$，且 $\theta\ne\dfrac{\pi}{2}$，所以 $\tan\theta<-\sqrt{3}$ 或 $\tan\theta>\sqrt{3}$，

$\therefore-\dfrac{\sqrt{3}}{3}<\dfrac{1}{\tan\theta}<\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，且 $\dfrac{1}{\tan\theta}\ne0$，

$\left|ME\right|-\left|NE\right|=\left(4-2\right)\cdot\dfrac{2}{\tan\theta}=\dfrac{4}{\tan\theta}\in\left(-\dfrac{4\sqrt{3}}{3},0\right)\cup\left(0,\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)$，

综上所述，$\left|ME\right|-\left|NE\right|\in\left(-\dfrac{4\sqrt{3}}{3},\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)$。

故①答案为：$\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{12}=1$；$\left(-\dfrac{4\sqrt{3}}{3},\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\right)$。