椭圆 OA=OF AF=2CF

江苏省盐城中学 2022-2023 学年高二上学期期末数学试题

16. 已知 $A,B,C$ 是椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>b>0)$ 上的三个点，$O$ 为坐标原点，$A,B$ 两点关于原点对称，$AC$ 经过右焦点 $F$，若 $|OA|=|OF|$ 且 $|AF|=2|CF|$，则该椭圆的离心率是 $\underline{\qquad}$。

解： 如右图所示，设 $|FC|=m$，$|AF_{1}|=n$，则 $|AF|=2m$。

$\because |OA|=|OF|=|OF_{1}|=|OB|$

$\therefore$ 四边形 $AFBF_{1}$ 为矩形

$\therefore 4m^{2}+n^{2}=4c^{2}$

$\because |CF_{1}|+|CF|=2a$，$|AF|+|AF_{1}|=2a$

$\therefore |CF_{1}|=2a-m$，$2m+n=2a$

$\because \angle F_{1}AF=90^{\circ}$（矩形），$C$ 在 $AF$ 的延长线上，$|AC|=|AF|+|FC|=3m$，

$\therefore$ 在 $\text{Rt}\triangle F_{1}AC$ 中，$(3m)^{2}+n^{2}=(2a-m)^{2}$

$\therefore 9m^{2}+(2a-2m)^{2}=(2a-m)^{2}$

$\therefore m=\dfrac{a}{3}$，$n=\dfrac{4a}{3}$

$\therefore 4\left(\dfrac{a}{3}\right)^{2}+\left(\dfrac{4a}{3}\right)^{2}=4c^{2}$

$\therefore 20a^{2}=36c^{2}$，$\therefore e=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$