三角形 PA=1，30 度，45 度

题 15：某楼梯共有 10 个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上 1 个或者 2 个台阶，则小明不同的上楼方法共有种。（用数字作答）

题 15 解答

设上 $n$ 个台阶的方法数为 $f(n)$，则 $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$（最后一步跨 1 阶或 2 阶），且 $f(1)=1$，$f(2)=2$。

f(3)=3,\ f(4)=5,\ f(5)=8,\ f(6)=13,\ f(7)=21,\ f(8)=34,\ f(9)=55,\ f(10)=\boxed{89}

题 16：如图，点 $P$ 为 $\angle BAC$ 内一点，$|PA|=1$，$\angle BAP=30^\circ$，$\angle CAP=45^\circ$，过点 $P$ 作直线分别交射线 $AB$、$AC$ 于 $D$、$E$ 两点，则 $\dfrac{1}{|PD|}+\dfrac{1}{|PE|}$ 的最大值为。

题 16 解答

设 $|PD|=m$，$|PE|=n$，$\angle APD=\alpha$，易知 $\sin\angle APD=\sin\angle APE=\sin\alpha$（两角互补，正弦相等）。

$\triangle APD$ 中由正弦定理：$\dfrac{AD}{\sin\alpha}=\dfrac{m}{\sin 30^\circ}$，则 $AD=2m\sin\alpha$。

$\triangle APE$ 中由正弦定理：$\dfrac{AE}{\sin\alpha}=\dfrac{n}{\sin 45^\circ}$，则 $AE=\sqrt2\,n\sin\alpha$。

由 $D$、$P$、$E$ 共线，$\overrightarrow{EP}=\dfrac{n}{m+n}\overrightarrow{ED}=\dfrac{n}{m+n}\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AD}\right)$，

\therefore\ \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EP}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{AD}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{AE}

两边取模（$|AP|=1$，$\angle DAE=\angle BAC=30^\circ+45^\circ=75^\circ$）：

1=\frac{n^2}{(m+n)^2}\cdot 4m^2\sin^2\alpha+\frac{m^2}{(m+n)^2}\cdot 2n^2\sin^2\alpha+\frac{2mn}{(m+n)^2}\cdot 2\sqrt2\,mn\sin^2\alpha\cos 75^\circ

其中 $4+4\sqrt2\cos 75^\circ=4+4\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}=4+2\sqrt3$，故

(4+2\sqrt3)\,m^2n^2\sin^2\alpha=(m+n)^2

由 $\sin^2\alpha\le 1$：

\therefore\ \frac{m+n}{mn}=\frac{1}{|PD|}+\frac{1}{|PE|}\le\sqrt{4+2\sqrt3}=\boxed{\sqrt3+1}

当且仅当 $\alpha=90^\circ$（即 $DE\perp AP$）时取等号。

三角形 PA=1,30度，45度

三角形 PA=1，30 度，45 度

题 15 解答

题 16 解答