xeˣ − a(x+lnx) + 3 ≥ 4 恒成立

题目：已知函数 $f(x)=xe^x-a(x+\ln x)+3$，对于 $\forall x\in(0,+\infty)$，$f(x)\ge 4$ 恒成立，则满足题意的 $a$ 的取值集合为（　　）

A. $\{0\}$　　B. $\{0,1\}$　　C. $\{-1,0,1\}$　　D. $\{1\}$

解：$xe^x-a(x+\ln x)+3\ge 4$ 恒成立

即 $xe^x-a(\ln e^x+\ln x)+3\ge 4$ 恒成立

即 $a(\ln xe^x)-xe^x+1\le 0$ 恒成立

令 $xe^x=t$

$\therefore\ a\ln t-t+1\le 0$ 恒成立

设 $g(t)=a\ln t-t+1$，则 $g'(t)=\dfrac{a}{t}-1=\dfrac{a-t}{t}$

$\therefore\ 0<t<a$ 时，$g(t)$ 单增，$t>a$ 时，$g(t)$ 单减

$\therefore\ g(t)_{\text{极大值}}=g(a)=a\ln a-a+1\le 0$

设 $h(x)=x\ln x-x+1$，则 $h'(x)=\ln x$

$\therefore\ x>1$ 时 $h(x)$ 单增，$0<x<1$ 时 $h(x)$ 单减

$\therefore\ h(x)_{\text{极小值}}=h(1)=0$

$\therefore\ a\ln a-a+1\ge 0$

$\therefore\ a\ln a-a+1=0$

$\therefore\ a=1$

故选 $\boxed{D}$。

相似题 1

若关于 $x$ 的不等式 $e^{x-1}\ge\ln x+a$ 对一切正实数 $x$ 恒成立，实数 $a$ 的取值范围是（　C　）

A. $\left(-\infty,\dfrac{1}{e}\right)$　　B. $(-\infty,e]$　　C. $(-\infty,1]$　　D. $(-\infty,2]$

若 $\forall x\in(0,+\infty)$，$\ln(ax)\le\dfrac{e^x}{a}$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为（　C　）

A. $e^{-1}$　　B. $1$　　C. $e$　　D. $e^2$

若对任意 $x\in(0,+\infty)$，不等式 $e^{2x}-m\ln 2m-m\ln x\ge 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值（　B　）

A. $\sqrt{e}$　　B. $e$　　C. $2e$　　D. $e^2$