椭圆 (m,n)为三角形内心 m+n最大值

16. 已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1},F_{2}$，$P$ 为 $C$ 上任意一点（异于左、右顶点），点 $(m,n)$ 为 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 的内心，则 $m+n$ 的最大值为 $\underline{\qquad}$。

解： 对椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>b>0)$，设 $P(a\cos\theta,\ b\sin\theta)$，$\triangle PF_{1}F_{2}$ 的内切圆半径为 $r$，则

$S_{\triangle PF_{1}F_{2}}=\dfrac{1}{2}\times2c\times b|\sin\theta|=bc|\sin\theta|=\dfrac{1}{2}(2c+2a)\cdot r$，故 $r=\dfrac{bc|\sin\theta|}{a+c}=|n|$，由题意知 $F_{1}(-c,0)$，$F_{2}(c,0)$，

则 $|PF_{1}|=\sqrt{(a\cos\theta+c)^{2}+(b\sin\theta)^{2}}=\sqrt{a^{2}+2ac\cos\theta+(c\cos\theta)^{2}}=a+c\cos\theta$，同理可得 $|PF_{2}|=a-c\cos\theta$。

又由内切圆的性质得 $(c-m)-(m+c)\Rightarrow|PF_{2}|-|PF_{1}|=(a-c\cos\theta)-(a+c\cos\theta)$，所以 $m=c\cos\theta$。由 $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$，得 $\dfrac{m^{2}}{c^{2}}+\dfrac{n^{2}}{\dfrac{(bc)^{2}}{(a+c)^{2}}}=1$，即 $\dfrac{m^{2}}{c^{2}}+\dfrac{n^{2}}{\dfrac{a-c}{a+c}c^{2}}=1$。当 $a=2$，$c=1$ 时，$m^{2}+3n^{2}=1\ (n\ne 0)$。

设 $m=\cos\alpha$，$n=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\alpha\ne0$，则 $m+n=\cos\alpha+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin\alpha=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)$，

所以 $m+n$ 的最大值为 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。