不等式恒成立 0120

题 1

题目：已知不等式 $e^{2x}-kx^2+x\ge\ln x+\dfrac{1}{2}\ln k$（$k>0$）恒成立，则 $k$ 的最大值为。

解：$e^{2x}-kx^2+x\ge\ln x+\dfrac{1}{2}\ln k$

$\therefore\ \left(e^x\right)^2+\ln e^x\ge kx^2+\ln x+\dfrac{1}{2}\ln k$

$\therefore\ \left(e^x\right)^2+\ln e^x\ge\left(\sqrt{k}\,x\right)^2+\ln\sqrt{k}\,x$

设 $f(x)=x^2+\ln x$，则 $f'(x)=2x+\dfrac{1}{x}>0$

$\therefore\ x>0$ 时 $f(x)$ 单增

$\therefore\ e^x\ge\sqrt{k}\,x$

$\therefore\ \sqrt{k}\le\dfrac{e^x}{x}$

设 $g(x)=\dfrac{e^x}{x}$，则 $g'(x)=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$

$\therefore\ 0<x<1$ 时 $g(x)$ 单减，$x>1$ 时 $g(x)$ 单增

$\therefore\ g(x)_{\text{极小值}}=g(1)=e$

$\therefore\ \sqrt{k}\le e$，即 $k\le e^2$

故 $k$ 的最大值为 $\boxed{e^2}$。

题目：已知正数 $a$，$b$ 满足 $2a^4+\dfrac{2}{b^4}\le 2(\ln 2a-\ln b)+1$，则 $a^2+b^2=$ 。

解：$2a^4+\dfrac{2}{b^4}\le 2(\ln 2a-\ln b)+1$

$\therefore\ 2a^4+\dfrac{2}{b^4}\le\ln\dfrac{4a^2}{b^2}+1$

$\therefore\ \ln\dfrac{4a^2}{b^2}+1\ge 2\sqrt{2a^4\cdot\dfrac{2}{b^4}}=\dfrac{4a^2}{b^2}$（当且仅当 $ab=1$ 时等号成立）

设 $f(x)=\ln x-x+1$，则 $f'(x)=\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{1-x}{x}$

$\therefore\ 0<x<1$ 时 $f(x)$ 单增，$x>1$ 时 $f(x)$ 单减

$\therefore\ f(x)_{\text{极大值}}=f(1)=0$

$\therefore\ f\!\left(\dfrac{4a^2}{b^2}\right)\le 0$

$\therefore\ \ln\dfrac{4a^2}{b^2}+1\le\dfrac{4a^2}{b^2}$

$\therefore\ \ln\dfrac{4a^2}{b^2}+1=\dfrac{4a^2}{b^2}$

$\therefore\ \dfrac{4a^2}{b^2}=1$

$\therefore\ \begin{cases}ab=1\\ 2a=b\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\[2mm] b=\sqrt{2}\end{cases}$

$\therefore\ a^2+b^2=\boxed{\dfrac{5}{2}}$