椭圆 两切线斜率之积等于

四川省凉山州 2023 届高三第一次诊断性检测数学（理）试题第 16 题

16. 如图，已知椭圆 $C_{1}:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$，$C_{2}:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=t\ (a>b>0,0<t<1)$。若由椭圆 $C_{1}$ 长轴一端点 $P$ 和短轴一端点 $Q$ 分别向椭圆 $C_{2}$ 引切线 $PR$ 和 $QT$，若两切线斜率之积等于 $-\dfrac{1}{2}$，则椭圆 $C_{2}$ 的离心率 $e=\underline{\qquad}$。

解： 设切线 $PR$ 斜率为 $k_{1}$，切线 $QT$ 的斜率为 $k_{2}$。

由 $\begin{cases}\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=t\\ y=k_{1}(x+a)\end{cases}$ 得 $(b^{2}+a^{2}k_{1}^{2})x^{2}+2a^{2}k_{1}^{2}x+a^{2}(a^{2}k_{1}^{2}-b^{2}t)=0$

$\therefore \Delta=(2a^{2}k_{1}^{2})^{2}-4a^{2}(b^{2}+a^{2}k_{1}^{2})(a^{2}k_{1}^{2}-b^{2}t)=0$

$\therefore a^{4}k_{1}^{4}+a^{2}b^{2}k_{1}^{2}-b^{4}t-a^{2}k_{1}^{2}b^{2}t=0$

$\therefore b^{4}t=a^{2}b^{2}k_{1}^{2}-a^{2}k_{1}^{2}b^{2}t$

$\therefore k_{1}^{2}=\dfrac{b^{2}t}{a^{2}(1-t)}$

同理可得 $k_{2}^{2}=\dfrac{b^{2}(1-t)}{a^{2}t}$

$\therefore k_{1}^{2}k_{2}^{2}=\dfrac{b^{2}t}{a^{2}(1-t)}\cdot\dfrac{b^{2}(1-t)}{a^{2}t}=\dfrac{1}{4}$

$\therefore a^{2}=2b^{2}$

$\therefore c^{2}=a^{2}-b^{2}=b^{2}$

$\therefore e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$