f(x)=(1+x)^(1/x+m)，f(x)＜e² 恒成立

题目：已知函数 $f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}+m}$，当 $x\in(0,1)$ 时，$f(x)<e^2$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为 。

简析：依题可知 $0<x<1$ 时 $\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}+m}<e^2$ 恒成立。

两边取以 $e$ 为底的对数得

$\left(\dfrac{1}{x}+m\right)\ln(1+x)<2$

$\therefore\ m<\dfrac{2}{\ln(1+x)}-\dfrac{1}{x}\ (0<x<1)$ 恒成立

设 $g(x)=\dfrac{2}{\ln(1+x)}-\dfrac{1}{x}$，则 $g'(x)=\dfrac{(x+1)\ln^2(x+1)-2x^2}{(x+1)x^2\ln^2(x+1)}$

设 $h(x)=(x+1)\ln^2(x+1)-2x^2$，则 $h'(x)=\ln^2(x+1)+2\ln(x+1)-4x$

设 $t(x)=\ln^2(x+1)+2\ln(x+1)-4x$，则 $t'(x)=2\dfrac{\ln(x+1)-2x-1}{x+1}$

$\because\ \ln(x+1)\le x$

$\therefore\ t'(x)<0$，$t(x)$ 单减

$\therefore\ h'(x)=t(x)<t(0)=0$

$\therefore\ h(x)$ 单减

$\therefore\ g'(x)=h(x)<h(0)=0$

$\therefore\ g(x)$ 单减

$\therefore\ g(x)>g(1)=\dfrac{2}{\ln 2}-1$

$\therefore\ m\le\dfrac{2}{\ln 2}-1$

故实数 $m$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\ \dfrac{2}{\ln 2}-1\right]$。