m−n ≤ (x−m)²+e^(x−n)−a 恒成立

来源：江苏省苏州市 2022-2023 学年高三下学期 2 月开学摸底考试数学试题第 16 题

题目：若对任意 $m$，$n\in\mathbf{R}$，关于 $x$ 的不等式 $m-n\le\left(x-m\right)^2+e^{x-n}-a$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值为 .

（原文档仅含题目，未附解答。以下为补充简解。）

简解：不等式即 $\left(x-m\right)^2+e^{x-n}\ge m-n+a$ 对任意 $m,n,x$ 成立。

令 $u=x-n$，$d=m-n$，则 $x-m=u-d$，条件化为

$(u-d)^2+e^u-d\ge a$ 对任意 $u,d\in\mathbf{R}$ 成立。

固定 $u$，对 $d$ 求最小：$(u-d)^2-d$ 在 $d=u+\dfrac{1}{2}$ 处取最小值 $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}$，

故只需 $e^u-u-\dfrac{1}{4}\ge a$ 对任意 $u$ 成立。

设 $\varphi(u)=e^u-u-\dfrac{1}{4}$，则 $\varphi'(u)=e^u-1$，在 $u=0$ 处取最小值 $\varphi(0)=\dfrac{3}{4}$。

$\therefore\ a\le\dfrac{3}{4}$，即实数 $a$ 的最大值为 $\boxed{\dfrac{3}{4}}$（当 $m=n+\dfrac{1}{2}$，$x=n$ 时取得）。