双曲线左右两个交点OA+OB=2AB

7. 设 $O$ 为坐标原点，$F_{1},F_{2}$ 为双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>0,b>0)$ 的两个焦点，$l_{1},l_{2}$ 为双曲线的两条渐近线，$F_{1}$ 垂直 $l_{1}$ 于 $A$，$F_{1}A$ 的延长线交 $l_{2}$ 于 $B$，若 $|OA|+|OB|=2|AB|$，则双曲线的离心率为（　　）

A. $\sqrt{6}$　　B. $\sqrt{5}$　　C. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$　　D. $\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

解： 过点 $B$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $C$。

设 $|AB|=m$，$|OA|=n$，

由 $|OA|+|OB|=2|AB|$ 可得 $|OB|=2m-n$。

$\because |OA|\perp|AB|$

$\therefore m^{2}+n^{2}=(2m-n)^{2}$

$\therefore |AB|=m=\dfrac{4}{3}n$，$|OB|=|OC|=\dfrac{5}{3}n$

$\therefore \tan\angle ACB=\dfrac{\dfrac{4}{3}n}{\dfrac{5}{3}n+n}=\dfrac{1}{2}$

$\therefore \tan\angle AOB=\dfrac{1}{2}$

$\therefore \tan\angle AOF_{1}=\dfrac{b}{a}=2$

$\therefore e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}a}{a}=\sqrt{5}$

故选 B。