对任意$x>0$，若不等式$a{x}^{2} \leq {\text{e}}^{x}+axlnx$恒成立，则实数a的最大值为．
思路一：
解原不等式$a{x}^{2} \leq {\text{e}}^{x}+axlnx$，$x>0$，可化为$\frac{{\text{e}}^{x}}{x}+alnx - ax \geq 0$，
即$\frac{{\text{e}}^{x}}{x} - a(x - lnx)=\frac{{\text{e}}^{x}}{x} - aln\frac{{\text{e}}^{x}}{x} \geq 0$，
设$t=\frac{{\text{e}}^{x}}{x}$，其中$x>0$，则${t}^{′}=\frac{{\text{e}}^{x}(x - 1)}{x}$，
所以$t=\frac{{\text{e}}^{x}}{x}$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+ \infty )$上单调递增，所以$t=\frac{{\text{e}}^{x}}{x} \geq \text{e}$，
所以设$f(t)=t - alnt(t \geq \text{e})$，${f}^{′}(t)=1 - \frac{a}{t}=\frac{t - a}{t}(t \geq \text{e})$
①$a \leq \text{e}$时，${f}^{′}(t) \geq 0$，$f(t)$在$[\text{e},+ \infty )$上单调递增，
所以$f(t)$的最小值为$f{(t)}_{min}=f(\text{e})=\text{e} - alne=\text{e} - a \geq 0$，符合题意；
②$a>\text{e}$，$f(t)$在$[\text{e},a)$上单调递减，在$(a,+ \infty )$上单调递增，所以$f(t)$的最小值为$f{(t)}_{min}=f(a)=a - alna=a(1 - lna) \geq 0$，而$a>e$，所以$1 - lna<0$，与条件矛盾，故不成立；
所以实数a的最大值为e.
思路二：