e^(ax) ≥ 2x+b 恒成立，求 b/a 的最大值

来源：江西省五市九校 2023 届高三第一次联考数学（理科）试卷

题目：已知关于 $x$ 的不等式 $e^{ax}\ge 2x+b$ 对任意 $x\in R$ 恒成立，则 $\dfrac{b}{a}$ 的最大值为（　　）

A. $\dfrac{1}{2}$　　B. $1$　　C. $\dfrac{e}{2}$　　D. $\dfrac{e}{4}$

解：由 $e^{ax}\ge 2x+b$ 得 $b\le e^{ax}-2x$ 恒成立

$\therefore\ b\le\left(e^{ax}-2x\right)_{\min}$

设 $f(x)=e^{ax}-2x$，则 $f'(x)=ae^{ax}-2$

当 $a<0$ 时，$f'(x)<0$，$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单减，$f(x)$ 无最小值

$\therefore\ a<0$ 不合题意

当 $a>0$ 时，$x>\dfrac{1}{a}\ln\dfrac{2}{a}$ 时 $f(x)$ 单增，$x<\dfrac{1}{a}\ln\dfrac{2}{a}$ 时 $f(x)$ 单减

$\therefore\ f(x)_{\min}=f\!\left(\dfrac{1}{a}\ln\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{2}{a}-\dfrac{2}{a}\ln\dfrac{2}{a}$

$\therefore\ b\le\dfrac{2}{a}-\dfrac{2}{a}\ln\dfrac{2}{a}$，$\therefore\ \dfrac{b}{a}\le\dfrac{2}{a^2}-\dfrac{2}{a^2}\ln\dfrac{2}{a}$

设 $h(t)=\dfrac{t^2}{2}-\dfrac{t^2}{2}\ln t$

$h'(t)=t-t\ln t-\dfrac{t}{2}=\dfrac{t}{2}-t\ln t=\dfrac{t}{2}\left(1-2\ln t\right)=\dfrac{t}{2}\ln\dfrac{e}{t^2}$

$\therefore\ 0<t<\sqrt{e}$ 时 $h(t)$ 单增，$t>\sqrt{e}$ 时 $h(t)$ 单减

$\therefore\ \dfrac{2}{a^2}-\dfrac{2}{a^2}\ln\dfrac{2}{a}$ 在 $0<a<\sqrt{\dfrac{2}{e}}$ 上单增，在 $a>\sqrt{\dfrac{2}{e}}$ 上单减

$\therefore\ \left(\dfrac{2}{a^2}-\dfrac{2}{a^2}\ln\dfrac{2}{a}\right)_{\max}=\dfrac{e}{2}-\dfrac{e}{2}\ln\sqrt{e}=\dfrac{e}{4}$

$\therefore\ \dfrac{b}{a}\le\dfrac{e}{4}$

故选 $\boxed{D}$。