双曲线右焦点F，M(0,3b)直线l与双曲线右支交于AB

12. 设双曲线 $E:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>0,b>0)$ 的右焦点为 $F$，$M\left(0,3b\right)$，若直线 $l$ 与 $E$ 的右支交于 $A$，$B$ 两点，且 $F$ 为 $\triangle MAB$ 的重心，则直线 $l$ 斜率的取值范围为（　　）

A. $\left(\dfrac{\sqrt{13}}{3},\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3},+\infty\right)$　　B. $\left(\dfrac{2\sqrt{13}}{9},\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3},+\infty\right)$

C. $\left(-\infty,-\sqrt{6}\right)\cup\left(-\sqrt{6},-\dfrac{2\sqrt{13}}{9}\right)$　　D. $\left(-\infty,-\sqrt{6}\right)\cup\left(-\sqrt{6},-\dfrac{2\sqrt{13}}{3}\right)$

【答案】 C

【解析】

【详解】 设 $D$ 为 $AB$ 的中点，根据重心性质可得 $\overrightarrow{MF}=2\overrightarrow{FD}$，

因为 $F\left(c,0\right)$，$M\left(0,3b\right)$，则 $D\left(\dfrac{3c}{2},-\dfrac{3b}{2}\right)$，

因为直线 $l$ 与 $E$ 的右支交于 $A,B$ 两点，所以点 $D$ 在双曲线右支内部，

故有 $\dfrac{9c^{2}}{4a^{2}}-\dfrac{9b^{2}}{4b^{2}}>1$，解得 $\dfrac{c}{a}>\dfrac{\sqrt{13}}{3}$，

当直线 $l$ 斜率不存在时，$AB$ 的中点 $D$ 在 $x$ 轴上，

故 $M,F,D$ 三点不共线，不符合题意舍，

设直线 $l$ 斜率为 $k_{AB}$，设 $A\left(x_{1},y_{1}\right)$，$B\left(x_{2},y_{2}\right)$，

所以 $x_{1}+x_{2}=3c$，$y_{1}+y_{2}=-3b$，

因为 $A,B$ 在双曲线上，所以 $\begin{cases}\dfrac{x_{1}^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1\\ \dfrac{x_{2}^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y_{2}^{2}}{b^{2}}=1\end{cases}$

两式相减可得：$\dfrac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{a^{2}}=\dfrac{y_{1}^{2}-y_{2}^{2}}{b^{2}}$，

即 $\dfrac{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)}{a^{2}}=\dfrac{\left(y_{1}-y_{2}\right)\left(y_{1}+y_{2}\right)}{b^{2}}$，

即有 $\dfrac{3c\left(x_{1}-x_{2}\right)}{a^{2}}=\dfrac{-3b\left(y_{1}-y_{2}\right)}{b^{2}}$ 成立，

即有 $k_{AB}=-\dfrac{bc}{a^{2}}$，因为 $M,F,A,B$ 不共线，

即 $k_{AB}=\dfrac{bc}{a^{2}}\neq k_{MF}=-\dfrac{3b}{c}$，即 $c^{2}\neq3a^{2}$，即 $e\neq\sqrt{3}$，

所以 $E$ 的离心率的取值范围为 $\left(\dfrac{\sqrt{13}}{3},\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3},+\infty\right)$，

因为 $k_{AB}=-\dfrac{bc}{a^{2}}=-\sqrt{\dfrac{b^{2}c^{2}}{a^{4}}}=-\sqrt{\dfrac{\left(c^{2}-a^{2}\right)c^{2}}{a^{4}}}$

$=-\sqrt{\dfrac{c^{4}-a^{2}c^{2}}{a^{4}}}=-\sqrt{e^{4}-e^{2}}=-\sqrt{\left(e^{2}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}}$，

因为 $e\in\left(\dfrac{\sqrt{13}}{3},\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{3},+\infty\right)$，即 $e^{2}\in\left(\dfrac{13}{9},3\right)\cup\left(3,+\infty\right)$，

所以 $\left(e^{2}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}\in\left(\dfrac{52}{81},6\right)\cup\left(6,+\infty\right)$，

所以 $k_{AB}=-\sqrt{\left(e^{2}-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\dfrac{1}{4}}\in\left(-\infty,-\sqrt{6}\right)\cup\left(-\sqrt{6},-\dfrac{2\sqrt{13}}{9}\right)$。

故选：C