16．把函数 $y=\sin\omega x\ (\omega>0)$ 的图象向右平移 $\dfrac{\pi}{3}$ 个单位长度，得到函数 $f(x)$ 的图象．若 $f(x)$ 的图象关于原点对称，则 $\omega$ 的最小值为；若曲线 $y=f(x)$ 上存在唯一点 $A(x_0,f(x_0))$，$x_0\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，满足点 $A$ 关于原点的对称点 $B$ 也在曲线 $y=f(x)$ 上，则 $\omega$ 的取值范围是．

解答

依题 $f(x)=\sin\left(\omega x-\dfrac{\pi\omega}{3}\right)$

第一空： $\because f(x)$ 图像关于原点对称

$\therefore\ f(-x)=-f(x)$

$\therefore\ \omega$ 最小值为 $3$

第二空： 依题可知点 $B\left(-x_0,\ -f(x_0)\right)$

同上化简可得 $\cos\omega x_0\cdot\sin\dfrac{\pi\omega}{3}=0$

$\therefore\ x_0\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ 时 $\cos\omega x_0=0$ 有唯一解

$\omega x_0=\dfrac{\pi}{2}$ 时 $x_0=\dfrac{\pi}{2\omega}$；$\omega x_0=\dfrac{3\pi}{2}$ 时 $x_0=\dfrac{3\pi}{2\omega}$

答案： $\omega_{\min}=3$；$\omega\in(1,3]$