三角形内一点 O，面积比 3:5，求 3m-2n

题目：已知 $O$ 为三角形内一点，且 $\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}\ (m,n\in R)$，$\triangle ABC$ 和 $\triangle ABO$ 的面积分别为 $S_1,S_2$，若 $\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{3}{5}$，则 $3m-2n=$ __

思路一（特殊化）

解：三角形特殊化，取 $A(-2,0)$，$B(2,0)$，$O(0,3)$，$C(0,6)$（如右图所示）。

$\because \overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}$

$$(-2,-3)=m(2,-3)+n(0,2)$$

$\therefore -2=2m,\ -3=-3m+2n$，$\therefore m=-1,\ n=-3$

\therefore\ 3m-2n=-3+6=3

思路二（共线分解）

解：延长 $CO$ 交 $AB$ 于点 $D$，如右图所示。

$\because A,D,B$ 三点共线

\therefore\ \overrightarrow{OD}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}

$\because \dfrac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle ABC}}=\dfrac{3}{5}$，即 $O$ 到 $AB$ 的距离与 $C$ 到 $AB$ 的距离之比为 $3:5$，$C,O,D$ 共线，

\therefore\ \overrightarrow{OD}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{OC}

\therefore\ -\frac{3}{2}\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\ \implies\ \overrightarrow{OA}=\frac{\lambda-1}{\lambda}\overrightarrow{OB}-\frac{3}{2\lambda}\overrightarrow{OC}

$\because \overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}$

\therefore\begin{cases}m=\dfrac{\lambda-1}{\lambda},\\[2mm] n=-\dfrac{3}{2\lambda},\end{cases}\qquad \therefore\ 3m-2n=\frac{3\lambda-3}{\lambda}+\frac{3}{\lambda}=3

思路三（截线法）

如 16.3 图，分别在边 $AC$、$BC$ 上取点 $D,E$，使得 $AD=\dfrac{3}{5}AC$，$BE=\dfrac{3}{5}BC$。

因为 $\dfrac{S_2}{S_1}=\dfrac{3}{5}$，所以点 $O$ 在线段 $DE$ 上（不包含端点），则

\overrightarrow{OD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OC},\qquad \overrightarrow{OE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{OB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OC}

因为 $O,D,E$ 三点共线，所以 $\overrightarrow{OD}=k\overrightarrow{OE}$，即

\frac{2}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OC}=k\left(\frac{2}{5}\overrightarrow{OB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OC}\right)

所以 $\overrightarrow{OA}=k\overrightarrow{OB}+\dfrac{3}{2}k(k-1)\overrightarrow{OC}$。

因为 $\overrightarrow{OA}=m\overrightarrow{OB}+n\overrightarrow{OC}\ (m,n\in\mathbf{R})$，所以

\begin{cases}k=m,\\ \dfrac{3}{2}k(k-1)=n,\end{cases}\qquad\text{所以}\ 3m-2n=3

\boxed{3m-2n=3}

三角形内一点O,面积比3：5 2m-3n

三角形内一点 O，面积比 3:5，求 3m-2n

思路一（特殊化）

思路二（共线分解）

思路三（截线法）