eˣ+1 ≥ 2(a²x+1/x)ln(ax) 恒成立

题目：∀x∈(0,+∞)，不等式 $e^x+1\ge 2\left(a^2x+\dfrac{1}{x}\right)\ln(ax)$ 恒成立，则正实数 $a$ 的最大值是 。

简析：依题可知 $a>0$。

原式可化为 $xe^x+x\ge 2a^2x^2\ln ax+2\ln ax$

$\therefore\ e^x\ln e^x+\ln e^x\ge a^2x^2\ln a^2x^2+\ln a^2x^2$

设 $f(x)=(x+1)\ln x$，则 $f'(x)=\ln x+\dfrac{1}{x}+1$

设 $g(x)=\ln x+\dfrac{1}{x}+1$，则 $g'(x)=\dfrac{x-1}{x^2}$

$\therefore\ x>1$ 时 $g(x)$ 单增，$0<x<1$ 时 $g(x)$ 单减

$\therefore\ g(x)_{\min}=g(1)=2$

$\therefore\ f(x)$ 单增

$\therefore\ e^x\ge a^2x^2$

$\therefore\ a^2\le\dfrac{e^x}{x^2}$

设 $h(x)=\dfrac{e^x}{x^2}$，则 $h'(x)=\dfrac{e^x(x-2)}{x^3}$

$\therefore\ 0<x<2$ 时 $h(x)$ 单减，$x>2$ 时 $h(x)$ 单增

$\therefore\ h(x)_{\min}=h(2)=\dfrac{e^2}{4}$

$\therefore\ a^2\le\dfrac{e^2}{4}$，即 $0<a\le\dfrac{e}{2}$

故正实数 $a$ 的最大值为 $\boxed{\dfrac{e}{2}}$。