三角形内心，三边边长
一、单选题
1.（福建省三明市 2022-2023 学年高一下学期期末质量检测数学试题）
设 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，$AB=AC=5$，$BC=8$，$\overrightarrow{AO}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$（$m,n\in\mathbf{R}$），则 $m+n=$（ ）
A. $\dfrac23$ B. $\dfrac59$ C. $\dfrac35$ D. $\dfrac25$
解法一（面积法）
解：取 $BC$ 的中点 $E$，连 $AE$。
因为 $AB=AC=5$，$BC=8$，所以 $AE\perp BC$，$AE=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
所以 $\triangle ABC$ 的内心 $O$ 在线段 $AE$ 上，$OE$ 为内切圆的半径。
因为 $S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}$，
所以 $\dfrac12\cdot AE\cdot BC=\dfrac12\cdot OE\cdot(AB+AC+BC)$，
所以 $\dfrac12\times3\times8=\dfrac12\times OE\cdot(5+5+8)$，得 $OE=\dfrac43$。
所以 $AO=AE-OE=3-\dfrac43=\dfrac53$。
所以 $\overrightarrow{AO}=\dfrac59\overrightarrow{AE}$。
又 $\overrightarrow{AE}=\dfrac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$，所以 $\overrightarrow{AO}=\dfrac{5}{18}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{18}\overrightarrow{AC}$。
又已知 $\overrightarrow{AO}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，所以 $m=n=\dfrac{5}{18}$。
所以 $m+n=\dfrac59$。
故选：B
解法二（奔驰定理）
依题可知 $\overrightarrow{AO}=m\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right)+n\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}\right)$
由奔驰定理可知 $8\overrightarrow{AO}+5\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\vec0$
2.（2017 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）仿真预测卷（二））
已知 Rt$\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，$I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，$P$ 是 $\triangle IBC$ 内部（不含边界）的动点，若 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$（$\lambda,\mu\in R$），则 $\lambda+\mu$ 的取值范围是（ ）
A. $\left(\dfrac{7}{12},1\right)$ B. $\left(\dfrac13,1\right)$ C. $\left(\dfrac14,\dfrac{7}{12}\right)$ D. $\left(\dfrac14,1\right)$
解：如图所示，以 $A$ 为坐标原点，$AB$ 所在的直线为 $x$ 轴，$AC$ 所在的直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，
则易得 $A(0,0)$，$B(3,0)$，$C(0,4)$，$I(1,1)$。
设点 $P(x,y)$，则由 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$ 得 $(x,y)=\lambda(3,0)+\mu(0,4)$，
所以 $\lambda=\dfrac x3$，$\mu=\dfrac y4$，则 $\lambda+\mu=\dfrac x3+\dfrac y4$。
又由题意得点 $P(x,y)$ 在以 $B(3,0)$，$C(0,4)$，$I(1,1)$ 为顶点的三角形内部（不包含边界）。
由图易得当目标函数 $z=\dfrac x3+\dfrac y4$ 与直线 $BC$ 重合时，$z$ 取得最大值 $1$；
当目标函数经过点 $I(1,1)$ 时，$z=\dfrac x3+\dfrac y4$ 取得最小值 $\dfrac{7}{12}$。
又因为点 $P(x,y)$ 的可行域不包含边界，
所以 $z=\dfrac x3+\dfrac y4$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{7}{12},1\right)$，
即 $\lambda+\mu$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{7}{12},1\right)$。
故选：A