唐山学业水平调研 12

注：题干图片 GDI 渲染后字迹严重重叠，以下题干按可辨认片段与解答过程反推。

题目（12）： 已知圆 $x^2+y^2=4$，动点 $P(x_0,y_0)$，直线 $l:x_0x+y_0y=4$，$O$ 在 $l$ 上的射影为点 $Q$，下列结论正确的有（　　）

A. 若 $P$ 在圆上，则直线 $l$ 与圆相切

B. 若 $P$ 在圆内，则直线 $l$ 与圆相交

C. 若 $l$ 过 $(1,0)$，与圆相交于 $A$、$B$，则四边形 $OAPB$ 面积最大值为 $4\sqrt{3}$

D. 若 $P$ 在曲线 $|x_0-y_0|+|x_0+y_0|=2$ 上，则 $Q$ 的轨迹所围成图形的面积为 $16+8\pi$

（A：$P$ 在圆上时 $d(O,l)=\dfrac{4}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}=2=r$，相切，A 正确；B：$P$ 在圆内时 $d=\dfrac{4}{|OP|}>2$，直线与圆相离，B 错误——原题干此选项字迹重叠，按几何关系校正。答案 ACD。）

解：对选项 C

$\because l$ 过点 $(1,0)$

$\therefore x_0=4$

$\therefore 4x+y_0y=4$

$\therefore$ 点 $O$ 到 $l$ 的距离为 $\ d_O=\dfrac{4}{\sqrt{y_0^2+16}}$

点 $P$ 到 $l$ 的距离为 $\ d_P=\dfrac{y_0^2+12}{\sqrt{y_0^2+16}}$

|AB|=2\sqrt{4-d_O^2}=4\sqrt{\frac{y_0^2+12}{y_0^2+16}}

\therefore S_{\text{四边形}OAPB}=S_{\triangle OAB}+S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{\frac{y_0^2+12}{y_0^2+16}}\left(\frac{4}{\sqrt{y_0^2+16}}+\frac{y_0^2+12}{\sqrt{y_0^2+16}}\right)

=2\sqrt{y_0^2+12}\geq 4\sqrt{3}

故 C 正确。

对选项 D

设点 $Q(x,y)$，依题可知：

\begin{cases} \dfrac{y}{x}\cdot\dfrac{-x_0}{y_0}=-1\\[8pt] x_0\cdot\dfrac{x}{2}+y_0\cdot\dfrac{y}{2}=4\\[4pt] |x_0-y_0|+|x_0+y_0|=2 \end{cases}

由前两个可得到 $\quad x_0=\dfrac{4x}{x^2+y^2},\ y_0=\dfrac{4y}{x^2+y^2}$，带入第三个式子得

\left|\frac{4(x-y)}{x^2+y^2}\right|+\left|\frac{4(x+y)}{x^2+y^2}\right|=2

\therefore |x-y|+|x+y|=\frac{x^2+y^2}{2}

$\therefore$ 点 $Q$ 轨迹所围成的区域为四部分，每部分包括一个等腰三角形和半圆，面积和为 $16+8\pi$。故 D 正确。

直线与圆 唐山学业水平调研12