三角形内心，AB=3，AC=4，BC=5，λ+μ 范围

（2017 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）仿真预测卷（二））

题目：已知 Rt$\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，$I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，$P$ 是 $\triangle IBC$ 内部（不含边界）的动点，若 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$（$\lambda,\mu\in R$），则 $\lambda+\mu$ 的取值范围是（　　）

A. $\left(\dfrac{7}{12},1\right)$　　B. $\left(\dfrac13,1\right)$　　C. $\left(\dfrac14,\dfrac{7}{12}\right)$　　D. $\left(\dfrac14,1\right)$

解答

解：如图所示，以 $A$ 为坐标原点，$AB$ 所在的直线为 $x$ 轴，$AC$ 所在的直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，

则易得 $A(0,0)$，$B(3,0)$，$C(0,4)$，$I(1,1)$。

设点 $P(x,y)$，则由 $\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC}$ 得 $(x,y)=\lambda(3,0)+\mu(0,4)$，

所以 $\lambda=\dfrac x3$，$\mu=\dfrac y4$，则 $\lambda+\mu=\dfrac x3+\dfrac y4$。

又由题意得点 $P(x,y)$ 在以 $B(3,0)$，$C(0,4)$，$I(1,1)$ 为顶点的三角形内部（不包含边界）。

由图易得当目标函数 $z=\dfrac x3+\dfrac y4$ 与直线 $BC$ 重合时，$z$ 取得最大值 $1$；

当目标函数经过点 $I(1,1)$ 时，$z=\dfrac13+\dfrac14$ 取得最小值 $\dfrac{7}{12}$。

又因为点 $P$ 的可行域不包含边界，

所以 $z=\dfrac x3+\dfrac y4$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{7}{12},1\right)$，

即 $\lambda+\mu$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{7}{12},1\right)$。

故选：A

附：同文档第 2 页（绝对值恒成立求 b 的最大值）

（2024 届数学新高考 I 卷精准模拟（三））已知 $f(x)=ax^3+(b-2)x^2+\sqrt2 a$，当 $x\in[1,2]$ 时，$|f(x)|\le x^2$ 恒成立，则 $b$ 的最大值为（　　）

A. $6\sqrt2+9$　　B. $9\sqrt2+9$　　C. $9\sqrt2+12$　　D. $15\sqrt2+15$

解答

原式可化为 $\left|ax+\dfrac{\sqrt2 a}{x^2}+b-2\right|\le 1$（两边同除以 $x^2$）。

即 $a\left(x+\dfrac{\sqrt2}{x^2}\right)+b-2\le 1$ 且 $\ge -1$。

设 $g(x)=x+\dfrac{\sqrt2}{x^2}$，则 $g'(x)=\dfrac{x^3-2\sqrt2}{x^3}$。

$\therefore\ 1<x<\sqrt2$ 时 $g(x)$ 单减，$\sqrt2<x<2$ 时 $g(x)$ 单增，

又 $g(2)-g(1)=2+\dfrac{\sqrt2}{4}-1-\sqrt2=\dfrac{4-3\sqrt2}{4}<0$，

于是条件等价于（对一切 $x\in[1,2]$，$a\,g(x)+b-2\in[-1,1]$，极值在 $g$ 的最值处取得）：

将 $a$ 与 $b$ 换成 $x$、$y$：

在平面直角坐标系画出可行域可知 ② 与 ③ 交点纵坐标最大，即 $b$ 最大。联立 ②③：

（验证：代入 ① 得 $-2\le0$ ✓，代入 ④ 得 $2\ge0$ ✓，该点在可行域内。）

$\therefore\ b$ 的最大值为 $9+6\sqrt2$。

故选：A