圆上点与 $|3x-4y+a|+|3x-4y-9|$ 的取值无关问题

题目： 若对圆 $(x-3)^2+(y-2)^2=1$ 上任意一点 $P(x,y)$，$|3x-4y+a|+|3x-4y-9|$ 的取值与 $x,y$ 无关，则实数 $a$ 的取值范围是＿＿＿＿。

解一（三角换元）：

设 $x-3=\sin\theta,\ y-2=\cos\theta$

则 $3x-4y=5\sin(\theta+\varphi)+1\in[-4,6]$

$\therefore 3x-4y-9<0$

$3x-4y+a<0$ 时，原式 $=-(3x-4y)-a-(3x-4y)+9=9-a-2(3x-4y)$，不合题意；

$3x-4y+a\geq 0$ 时，原式可化为 $(3x-4y)+a-(3x-4y)+9=9+a$，符合题意；

（即 $a\geq\max[-(3x-4y)]=4$。）

解二（几何意义）：

设 $z=|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=5\left(\dfrac{|3x-4y+a|}{\sqrt{3^2+4^2}}+\dfrac{|3x-4y-9|}{\sqrt{3^2+4^2}}\right)$，

则 $|3x-4y+a|+|3x-4y-9|$ 可以看作点 $P(x,y)$ 到直线 $m:3x-4y+a=0$，与到直线 $l:3x-4y-9=0$ 的距离之和的 5 倍。

因为 $|3x-4y+a|+|3x-4y-9|$ 的取值与 $x,y$ 无关，所以上述距离之和与点 $P$ 在圆上的位置无关。

如图，当直线 $m$ 平移时，点 $P$ 到直线 $m$、$l$ 的距离之和均为 $m$ 与 $l$ 间的距离，即此时圆在两直线之间。

当直线 $m$ 与圆 $(x-3)^2+(y-2)^2=1$ 相切时，

解得 $a=4$ 或 $a=-6$（舍去）。

所以 $a\geq 4$，即 $a\in[4,+\infty)$。