三次函数恰有两个极值点，则可能的极大值

16. 若函数 $f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d\,(b,d\in R)$ 恰有两个零点 $x_{1},x_{2}$，且 $|x_{1}-x_{2}|=1$，则函数 $f(x)$ 所有可能的极大值为．

（图像一：$f(x)$ 在 $x_{1}<-1$ 处穿过 $x$ 轴，极大值点 $x_{0}$ 在 $-1$ 附近，$x_{2}$ 在 $1$ 附近；图像二：$f(x)$ 在 $x_{1}$（约 $-1$）处穿过 $x$ 轴，极小值点 $x_{0}$ 在 $1$ 附近，$x_{2}$ 在 $2$ 附近）

解答

$f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d$ 只有 2 个零点 $\iff f(x)_{\text{极大值}}\cdot f(x)_{\text{极小值}}=0$．

两种情况如上图一图二所示：

① $f(x)_{\text{极大值}}=0$；

② $f(x)_{\text{极小值}}=0$ 时不妨设 $x_{1}<x_{0}<x_{2}$．

则 $f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d=(x-x_{1})(x-x_{2})^{2}$

可得 $-(x_{1}+2x_{2})=b,\ (2x_{1}+x_{2})x_{2}=c$

$\because f'(x)=3x^{2}+2bx+c=0$

$\therefore x_{0}+x_{2}=-\dfrac{2b}{3},\ x_{0}x_{2}=\dfrac{c}{3}$

$\therefore 3x_{0}x_{2}=(2x_{1}+x_{2})x_{2}$

$\because x_{2}-x_{1}=1$

综上，所有可能的极大值为 $0$ 或 $\dfrac{4}{27}$．