数列 1，1，2，1，2，4

题目（12）： 已知数列 $\{a_n\}$：$1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,\cdots$，其中第一项是 $2^0$，接下来的两项是 $2^0,2^1$，再接下来的三项是 $2^0,2^1,2^2$，以此类推。记数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，则（　　）

A. $S_{20}=120$　　B. $a_{50}=16$

C. 若 $S_n>1000$，则 $n$ 的最小值为 45　　D. 若 $n>200$ 且存在 $m$（$m\in\mathbb{N}^*$），使得 $S_n=2^m+1$，则 $m+n$ 的最小值为 440

解：

数列特点如下：

• 第一组：$1$
• 第二组：$1\ 2$
• 第三组：$1\ 2\ 4$
• 第四组：$1\ 2\ 4\ 8$
• 第五组：$1\ 2\ 4\ 8\ 16$
• ……
• 第 $k$ 组：$1\ 2\ 4\ 8\ 16\ \cdots\ 2^{k-1}$

$\therefore$ 第 $k$ 组有 $k$ 个数，$a_{\frac{k(k+1)}{2}}=2^{k-1}$；前 $k$ 组各项之和 $S_{\frac{k(k+1)}{2}}=2^{k+1}-k-2$。

• 对于选项 A：$S_{20}=\left(2^{6}-5-2\right)+\left(2^{5}-1\right)=57+31=88\neq 120$，A 错误。⟨原解此行演算字迹潦草（似为 $2^5-4-2=26$，疑为 $S_{10}$ 的值），结论"A 错误"无误⟩
• 对于选项 B：$\dfrac{k(1+k)}{2}\leq 50$ 时 $k_{\max}=9$，$\therefore a_{50}$ 为第 10 组第 5 个数 $16$，B 正确。
• 对于选项 C：$S_{\frac{k(k+1)}{2}}=2^{k+1}-k-2>1000$，$k_{\min}=9$，$n_{\min}=\dfrac{9\times 10}{2}=45$，C 正确。
• 对于选项 D：假设 $a_n$ 中有 $k$ 组和第 $k+1$ 组的前 $t$ 个数：

令 $2^{t}=k+4$。

$\because n=\dfrac{k(k+1)}{2}+t>200$

$\therefore k\geq 20$

当 $k=28$ 时，$t=5$ 等号首次成立：

$\therefore (m+n)_{\min}=440$，选项 D 正确。