P=√2·sinα·cosβ+cosα·sin2β 的最大值
题目（8）： 设 $\alpha$，$\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，$P=\sqrt{2}\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin2\beta$。当 $P$ 取得最大值时，$\alpha$，$\beta$ 满足（ ）
A. $\tan\alpha=\sqrt{2}$，$\tan\beta=\sqrt{3}$ B. $\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan\beta=\sqrt{3}$
C. $\tan\alpha=\sqrt{2}$，$\tan\beta=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ D. $\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan\beta=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
简析：
$$P=\sqrt{2}\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin2\beta$$
$$\leq\sqrt{\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\left(2\cos^2\beta+\sin^2 2\beta\right)}$$
$$=\sqrt{2\cos^2\beta+4\cos^2\beta\left(1-\cos^2\beta\right)}$$
$$=\sqrt{-4\cos^4\beta+6\cos^2\beta}\ \left(\text{当且仅当}\ \sin\alpha\sin2\beta=\sqrt{2}\cos\beta\cos\alpha\ \text{时取等号}\right)$$
设 $t=\cos^2\beta$，则 $-4t^2+6t$：
$$=-4\left(t-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{9}{4}\leq\frac{9}{4}\ \left(\text{当且仅当}\ \cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \text{时等号成立}\right)$$
$\therefore$ 当 $P$ 取得最大值时 $\tan\beta=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，$\tan\alpha=\sqrt{2}$。
（此时 $\sin\alpha\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha\Rightarrow\tan\alpha=\sqrt{2}$，答案选 D。）