三次函数解集为 x＜m+1 且 x≠m
8. 已知函数 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\ (a,b,c\in R)$，若不等式 $f(x)<0$ 的解集为 $\left\{x\mid x<m+1,且x\neq m\right\}$，则函数 $f(x)$ 的极小值是（ ）
A. $-\dfrac{1}{4}$ B. $0$ C. $-\dfrac{4}{27}$ D. $-\dfrac{4}{9}$
（图像：$f(x)$ 的图像，在 $x=m$（点 $C$）处与 $x$ 轴相切，在 $x=m+1$（点 $B$）处穿过 $x$ 轴，极小值点 $A(x_{1},y_{1})$ 在 $m$ 与 $m+1$ 之间）
解答
依题可知，$f(x)$ 图像如上图所示，$C(m,0),\ B(m+1,0),\ A(x_{1},y_{1})$
$$\therefore x^{3}+ax^{2}+bx+c=(x-m)^{2}(x-m-1)$$
展开后得到
$$a=-(3m+1),\ b=3m^{2}+2m,\ c=-m^{2}(m+1)$$
$$\because f'(x)=3x^{2}+2ax+b=0$$
$$\therefore m+x_{1}=-\frac{2a}{3},\ mx_{1}=\frac{b}{3}$$
$$\therefore m+x_{1}=2m+\frac{2}{3}$$
$$\therefore x_{1}=m+\frac{2}{3}$$
$$\therefore f(x_{1})=(x_{1}-m)^{2}(x_{1}-m-1)=\frac{4}{9}\times\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{4}{27}$$
故选 C．