一道三角函数相关的数学试题

注：原 docx 由多个行内公式片段拼成（img01～img08），GDI 渲染后多数字迹重叠、无法辨认（img04 近乎空白）；完整题干以 img09 的解答反推。已知条件片段可辨认的有：$\dfrac{\sin\alpha}{\cos\beta}+\dfrac{\sin\beta}{\cos\alpha}<2$、$\alpha+\beta<\dfrac{\pi}{2}$、$\sin\alpha<\cos\beta$ 等；选项涉及 $f(x)=\log_a x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。

题目（反推）： 已知 $\alpha$，$\beta$ 均为锐角，且 $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\beta}+\dfrac{\sin\beta}{\cos\alpha}<2$，则下列结论正确的是（　　）

A. $\alpha+\beta<\dfrac{\pi}{2}$　　B. $\sin\alpha<\cos\beta$　　C. $f(\sin\alpha)>f(\cos\beta)$　　D. $f(\cos\alpha)<f(\sin\beta)$

（其中 $f(x)=\log_a x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。选项设置按解答反推，原题干图片不可辨认。）

解： 假设 $\alpha+\beta\geq\dfrac{\pi}{2}$，

$\therefore \alpha\geq\dfrac{\pi}{2}-\beta$，$\beta\geq\dfrac{\pi}{2}-\alpha$

$\because \alpha$，$\beta$ 都是锐角（$[0,\tfrac{\pi}{2}]$ 上 $\sin$ 单增）

$\therefore \sin\alpha\geq\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\beta\right)=\cos\beta$

$\sin\beta\geq\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$

$\therefore \dfrac{\sin\alpha}{\cos\beta}+\dfrac{\sin\beta}{\cos\alpha}\geq 1+1=2$

这与已知 $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\beta}+\dfrac{\sin\beta}{\cos\alpha}<2$ 矛盾。⟨原解两处印刷为"$\geq 1$"与"$<1$ 矛盾"，按数学逻辑与已知条件"<2"校正⟩

$\therefore \alpha+\beta<\dfrac{\pi}{2}$

$\therefore \sin\alpha<\cos\beta$，$\cos\alpha>\sin\beta$，A 和 B 正确。

$\because \dfrac{\sin\alpha}{\cos\beta}+\dfrac{\sin\beta}{\cos\alpha}<2$

$\therefore 2\sqrt{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\beta}\cdot\dfrac{\sin\beta}{\cos\alpha}}\leq\dfrac{\sin\alpha}{\cos\beta}+\dfrac{\sin\beta}{\cos\alpha}<2$

$\therefore 0<\dfrac{\sin\alpha}{\cos\beta}\cdot\dfrac{\sin\beta}{\cos\alpha}<1$

$\therefore \alpha=\tan\alpha\cdot\tan\beta\in(0,1)$

$\therefore f(x)=\log_a x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单减（底数 $0<a<1$，原式字迹重叠按此处理）

$\therefore f(\sin\alpha)>f(\cos\beta)$，$f(\cos\alpha)<f(\sin\beta)$，C 正确，D 错误。