数列不等式恒成立

题目（16）： 已知 $a_n=\dfrac{1}{n}$，若对任意的 $n\ (n\in\mathbb{N}^*)$，都有 $(a_1+2)(a_2+2)\cdots(a_n+2)\geq kn^2$，则实数 $k$ 的最大值为＿＿＿＿。

解：

$n=1$ 时，$a_1+2=3\geq k$ 得 $k\leq 3$

$n=2$ 时，$(a_1+2)(a_2+2)=\dfrac{15}{2}\geq 4k$ 得 $k\leq\dfrac{15}{8}=1.875$

$n=3$ 时得 $k\leq\dfrac{35}{18}\approx 1.94$

$n=4$ 时得 $k\leq\dfrac{35\times 9}{16\times 8}\approx 2.4$

即实数 $k$ 的最大值为 $\dfrac{15}{8}$。