三次函数满足 f(2-t)=f(t)=f'(t)=0

16. 已知三次函数 $f(x)=x^{3}+bx^{2}+cx+d$，其导函数为 $f'(x)$，存在 $t\in(1,4)$，满足 $f(2-t)=f(t)=f'(t)=0$．记 $f(x)$ 的极大值为 $M$，则 $M$ 的取值范围是．

（图像：$f(x)$ 的草图，在 $x=2-t$ 处穿过 $x$ 轴，在 $x=t$ 处与 $x$ 轴相切，先升后降再升）

解答

依题可知 $x=t$ 即是 $f(x)$ 的极值点又是零点，图像如上图所示．

\therefore\ f(x)=\left[x-(2-t)\right](x-t)^{2}

=x^{3}-(2+t)x^{2}+\left(4t-t^{2}\right)x-(2-t)t^{2}

\therefore\ f'(x)=3x^{2}-2(2+t)x+t(4-t)

=3\left(x-\frac{4-t}{3}\right)(x-t)

$\because 1<t<4$

$\therefore 0<\dfrac{4-t}{3}<1$

$\therefore x<\dfrac{4-t}{3}$ 时 $f(x)$ 单增，$\dfrac{4-t}{3}<x<t$ 时 $f(x)$ 单减．

\therefore f(x)_{\text{极大值}}=f\left(\frac{4-t}{3}\right)=\frac{32(1-t)^{3}}{27}

（注：原文如此；将 $x=\dfrac{4-t}{3}$ 代入可得极大值为 $\dfrac{32(t-1)^{3}}{27}$，$t\in(1,4)$ 时 $M\in(0,32)$）

$\therefore 0<f(x)_{\text{极大值}}<32$