展开式整数部分小数部分
题目（12）： 设 $(\sqrt{5}+2)^{2n-1}$（$n\in\mathbb{N}^*$）的整数部分为 $a_n$，小数部分为 $b_n$，则下列说法中正确的是（ ）
A. 数列 $\{a_n+b_n\}$ 是等比数列 B. 数列 $\{a_n\}$ 是递增数列
C. $b_n(a_n+b_n)=1$ D. $(1-b_n)(a_n+b_n)=1$
解：
$$(\sqrt{5}+2)^{2n-1}=C_{2n-1}^{0}\sqrt{5}^{\,2n-1}+C_{2n-1}^{1}\sqrt{5}^{\,2n-2}\cdot 2^1+\cdots+C_{2n-1}^{2n-1}2^{2n-1}$$
$$(\sqrt{5}-2)^{2n-1}=C_{2n-1}^{0}\sqrt{5}^{\,2n-1}-C_{2n-1}^{1}\sqrt{5}^{\,2n-2}\cdot 2^1+\cdots-C_{2n-1}^{2n-1}2^{2n-1}$$
$$\therefore(\sqrt{5}+2)^{2n-1}-(\sqrt{5}-2)^{2n-1}=2\left(C_{2n-1}^{1}\sqrt{5}^{\,2n-2}\cdot 2^1+\cdots+C_{2n-1}^{2n-1}2^{2n-1}\right)$$
$\because 0<(\sqrt{5}-2)^{2n-1}<1$
$\therefore a_n=(\sqrt{5}+2)^{2n-1}-(\sqrt{5}-2)^{2n-1},\quad b_n=(\sqrt{5}-2)^{2n-1}$
- 对于选项 A：$a_n+b_n=(\sqrt{5}+2)^{2n-1}$ 等比，故 A 正确。
- 对于选项 C：$b_n(a_n+b_n)=(\sqrt{5}+2)^{2n-1}(\sqrt{5}-2)^{2n-1}=1$，故 C 正确。
- 对于选项 D：$(1-b_n)(a_n+b_n)=(\sqrt{5}+2)^{2n-1}-1\neq 1$，故 D 错误。
- 对于选项 B：$\sqrt{5}+2>1$，$0<\sqrt{5}-2<1$，$a_n$ 单增，故 B 正确。