已知 $a, b \in \mathbf{R}$，函数 $f(x) = x^3 - (a+1)x^2 + (a-b)x + b$，对任意 $x \in (0, +\infty)$，恒有 $f(x) \ge 0$ 成立，则 $a^2 + b$ 的最小值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{3}{4}$ C. 1 D. 2
解：由 $f(x) \ge 0$，得 $x^3 - (a+1)x^2 + (a-b)x + b \ge 0$，
$\therefore x^3 - 1 - (a+1)x^2 + (a+1) + (a-b)x - (a-b) \ge 0$，
$\therefore (x-1)(x^2+x+1) - (a+1)(x+1)(x-1) + (a-b)(x-1) \ge 0$，
$\therefore (x-1)(x^2 - ax - b) \ge 0$ 对于 $x \in (0, +\infty)$ 恒成立。
$\therefore$ 函数 $y = x-1$ 在 $(0, +\infty)$ 上为增函数，且零点为 $x=1$，
$\therefore$ 函数 $g(x) = x^2 - ax - b$ 开口向上，对称轴为 $x = \frac{a}{2}$，
$\therefore$ 若 $(x-1)(x^2-ax-b) \ge 0$ 对于 $x \in (0, +\infty)$ 恒成立，则 $x=1$ 为函数 $g(x)$ 的零点，且 $0 < x < 1$ 时，$g(x) < 0$，$x > 1$ 时，$g(x) > 0$，
$\therefore a^2 + b = a^2 + 1 - a = \left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$，
$\therefore a = \frac{1}{2}$ 时，$a^2 + b$ 取得最小值 $\frac{3}{4}$。