已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$，若 $f(x)$ 是 $A \to A$ 的函数，且满足 $f[f(x)] = 1$，则函数 $f(x)$ 的个数是（ ）
A. 4 B. 10 C. 13 D. 23
解：
① 值域中只有一个元素 1，即值域为 $\{1\}$，对 $\forall x \in A$，$f(x) = 1$，只有 1 个函数符合题意；
② 值域中有两个元素，即值域为 $\{1, a\}$，$a = 2,3,4$，则 $f(1) = 1$，$f(a) = 1$，其余两个不属于 $\{1, a\}$ 的元素，其函数值只能在 $\{1, a\}$ 中选，且至少有一个是 $a$，有 $2^2 - 1 = 3$ 种情况，所以符合题意的函数有 $3 \times 3 = 9$ 个；
③ 值域中有三个或三个以上元素，假设值域 $\{1, a, b\}$，满足 $f(a) = 1$，$f(b) = 1$，$f(1) = 1$，剩余一个元素不可能同时取到 $a$ 和 $b$ 两个函数值，矛盾；
综上，满足题意的 $f(x)$ 一共有 $1 + 9 = 10$ 个。