已知正数 $a, b$ 满足 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$，则 $2a^2 + b^2 - 4a - 2b$ 的最小值为.
解：
$$
\begin{aligned}
2a^2 + b^2 - 4a - 2b
&= 2(a-1)^2 + (b-1)^2 - 3 \\
&\ge 2\sqrt{2}(a-1)(b-1) - 3
\end{aligned}
$$
由 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ 得 $ab = a + b$，即 $(a-1)(b-1) = 1$，代入得：
$$
2\sqrt{2}(a-1)(b-1) - 3 = 2\sqrt{2} - 3
$$
当且仅当 $\sqrt{2}(a-1) = b-1$，即 $a = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$，$b = 1 + \sqrt{2}$ 时等号成立，故最小值为 $2\sqrt{2} - 3$。