平面四边形 向量 λ+μ 最大值

题目：在平面四边形 $OACB$ 中，$OA\perp OB$，$OA=3$，$OB=\sqrt3$，$\angle ACB=\dfrac{2\pi}{3}$，且 $\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$，则 $\lambda+\mu$ 的最大值为（　）

A. $\sqrt3$　　B. $2$　　C. $3$　　D. $2\sqrt3$

解答（坐标法）

如图所示建立平面直角坐标系，则 $O(0,0)$，$A(3,0)$，$B(0,\sqrt3)$。

$\angle ACB=\dfrac{2\pi}{3}$，则点 $C,A,B$ 在以点 $D$ 为圆心、$2$ 为半径的圆上（外接圆半径 $R=\dfrac{AB}{2\sin\angle ACB}=\dfrac{2\sqrt3}{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=2$，圆心 $D(2,\sqrt3)$ 满足 $DA=DB=DC=2$，$\angle ADB=\dfrac{2\pi}{3}$）。

圆方程：$(x-2)^2+(y-\sqrt3)^2=4$。

设点 $C(2+2\sin\theta,\ \sqrt3+2\cos\theta)$。

$\because \overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$

当 $\sin\theta=\dfrac{1}{2},\ \cos\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}$（即 $C(3,2\sqrt3)$）时取等号。

故 $\lambda+\mu$ 的最大值为 $3$，选 C。

附（特值验证）

当 $C(3,2\sqrt3)$：$\lambda=1,\ \mu=2$，$\lambda+\mu=3$；

当 $C$ 取圆上其他点（如 $C(4,\sqrt3)$）：$\lambda=\dfrac{4}{3},\ \mu=1$，$\lambda+\mu=\dfrac{7}{3}<3$。

一致验证最大值为 $3$。