过点 $P(m,n)$ 的直线与圆
题目（16）： 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $C:\ x^2+y^2-8x=0$，过点 $P(m,n)$ 的动直线 $l$ 与圆 $C$ 交于点 $M$，$N$，若 $\triangle MCN$ 的面积最大值为 $4\sqrt{3}$，则 $\dfrac{n}{m}$ 的最大值为＿＿＿＿。
解：
设圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，如上图所示。
显然 $|PC|\geq d$
$$S_{\triangle MCN}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{r^2-d^2}\times d=\sqrt{-d^4+r^2d^2}=\sqrt{-\left(d^2-\frac{r^2}{2}\right)^2+\frac{r^4}{4}}$$
① 若 $|PC|^2\geq\dfrac{r^2}{2}$，则 $d^2=\dfrac{r^2}{2}$ 时 $S_{\max}=\dfrac{r^2}{2}$，此时 $CM\perp CN$；
② 若 $|PC|^2<\dfrac{r^2}{2}$，则 $d^2<\dfrac{r^2}{2}$，$S_{\max}=\dfrac{1}{2}|MN|\times d$，此时 $MN\perp PC$。
本题中：
若 $|PC|^2>8$，$S_{\max}=\dfrac{4^4}{4}=64\neq 4\sqrt{3}$
$$\therefore |PC|^2<8,\quad S_{\max}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{16-d^2}\times d=4\sqrt{3}$$
解得 $|PC|=d=2$ 或 $2\sqrt{3}$（舍）
$$\therefore (m-4)^2+n^2=4$$
$\therefore$ 动点 $P(m,n)$ 的轨迹是以 $(4,0)$ 为圆心、$2$ 为半径的圆。
$\dfrac{n}{m}=\dfrac{n-0}{m-0}$ 几何意义为圆上的点与坐标原点连线斜率。
显然直线 $PO$ 与圆相切时斜率取得最值。
易求得最大值为 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。