抛物线 准线上点M ABM为等腰直角三角形

16. 已知抛物线 $C:y^{2}=4x$ 的焦点为 $F$，经过 $F$ 的直线 $l$，$l$ 与 $C$ 的对称轴不垂直，$l$ 交 $C$ 于 $A$，$B$ 两点，点 $M$ 在 $C$ 的准线上，若 $\triangle ABM$ 为等腰直角三角形，则 $\left|AB\right|=$。

【答案】 $\dfrac{25}{4}$

【解析】

【详解】 抛物线 $y^{2}=4x$ 的焦点为 $F\left(1,0\right)$，准线方程为 $x=-1$，

过点 $F\left(1,0\right)$ 的斜率为 $0$ 的直线与抛物线 $C$ 有且只有一个交点，不满足条件，

设直线 $l$ 的方程为 $x=my+1$，

联立 $\begin{cases}y^{2}=4x\\ x=my+1\end{cases}$，消 $x$ 得，$y^{2}-4my-4=0$，

方程 $y^{2}-4my-4=0$ 的判别式 $\Delta=16m^{2}+16>0$，

设 $A\left(x_{1},y_{1}\right)$，$B\left(x_{2},y_{2}\right)$，$M\left(-1,t\right)$，$y_{1}>y_{2}$，

设 $AB$ 的中点为 $N\left(x_{0},y_{0}\right)$，

则 $y_{1}+y_{2}=4m$，$y_{1}y_{2}=-4$，

$y_{0}=\dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}=2m$，$x_{0}=2my_{0}+1=2m^{2}+1$

所以 $\left|AB\right|=x_{1}+x_{2}+p=m\left(y_{1}+y_{2}\right)+4=4+4m^{2}$，

因为 $\triangle ABM$ 为等腰直角三角形，

当点 $A$ 为直角顶点时，

过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线 $M_{1}B_{1}$，过点 $M$ 作 $MM_{1}\perp M_{1}B_{1}$，垂足为 $M_{1}$，

过点 $B$ 作 $BB_{1}\perp M_{1}B_{1}$，垂足为 $B_{1}$，

因为 $AB=MA$，$\angle MM_{1}A=\angle AB_{1}B$，$\angle AMM_{1}=90^{\circ}-\angle MAM_{1}=\angle BAB_{1}$，

所以 $\triangle AMM_{1}\cong\triangle BAB_{1}$，

所以 $\left|AM\right|=\left|BB_{1}\right|=\left|x_{1}-x_{2}\right|$，$\left|MM_{1}\right|=\left|y_{1}-y_{2}\right|$，

所以 $-1+y_{1}-y_{2}=x_{1}$，又 $y_{1}^{2}=4x_{1}$，$y_{1}+y_{2}=4m$，$y_{1}y_{2}=-4$，

所以 $-1+y_{1}-\dfrac{-4}{y_{1}}=\dfrac{y_{1}^{2}}{4}$，即 $\dfrac{y_{1}^{2}+4}{y_{1}}=\dfrac{y_{1}^{2}+4}{4}$，

所以 $y_{1}=4$，所以 $y_{2}=-1$，$m=\dfrac{3}{4}$，

所以 $\left|AB\right|=4+4m^{2}=\dfrac{25}{4}$，

当 $B$ 为直角顶点时，同理可得 $\left|AB\right|=\dfrac{25}{4}$，

当 $M$ 为直角顶点时，则点 $M$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，

因为 $AB$ 的中点坐标为 $N\left(2m^{2}+1,2m\right)$，

所以以 $AB$ 为直径的圆的方程为 $\left(x-2m^{2}-1\right)^{2}+\left(y-2m\right)^{2}=\left(2+2m^{2}\right)^{2}$，

取 $x=-1$，可得 $y=2m$，此时 $MN$ 与 $x$ 平行，与 $MN\perp AB$ 矛盾，

所以 $\left|AB\right|=\dfrac{25}{4}$，

故答案为： $\dfrac{25}{4}$。