x^(a+1)eˣ + a·lnx ≥ 0 恒成立

来源：安徽省皖南八校 2022-2023 学年高三上学期第二次大联考数学试题

题目：已知 $a<0$，不等式 $x^{a+1}e^x+a\ln x\ge 0$ 对任意的实数 $x>1$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为 .

解：$\because\ x^{a+1}e^x+a\ln x\ge 0$

$\therefore\ xe^x+\dfrac{a\ln x}{x^a}\ge 0$

$\therefore\ xe^x+x^{-a}\ln x^{-a}\ge 0$

$\therefore\ xe^x\ge x^{-a}\ln x^{-a}$

设 $f(x)=xe^x$，$f'(x)=e^x(x+1)$

$\therefore\ x>0$ 时，$f(x)$ 单增

$\therefore\ x\ge\ln x^{-a}$

$\therefore\ -a\le\dfrac{x}{\ln x}$

设 $g(x)=\dfrac{x}{\ln x}$，$g'(x)=\dfrac{\ln x-1}{(\ln x)^2}$

$\therefore\ x>e$ 时，$g(x)$ 单增；$1<x<e$ 时，$g(x)$ 单减

$\therefore\ g(x)_{\min}=g(e)=e$

$\therefore\ a\ge -e$

故实数 $a$ 的最小值为 $\boxed{-e}$。