绝对值函数f(x)=lnx- 有两个零点
12. 已知函数 $f(x)=\left|\ln x-\dfrac{2}{x}+2\right|-m$（$0<m<3$）有两个不同的零点 $x_{1}$，$x_{2}$（$x_{1}<x_{2}$），下列关于 $x_{1}$，$x_{2}$ 的说法正确的有（ ）个
① $\dfrac{x_{2}}{x_{1}}<e^{2m}$ ② $x_{1}>\dfrac{2}{m+2}$ ③ $e^{\frac{m}{3}}<x_{2}<\dfrac{3}{3-m}$ ④ $x_{1}x_{2}>1$
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解： 设 $g(x)=\ln x-\dfrac{2}{x}+2$，显然 $g(x)$ 单增，且 $g(1)=\ln 1-\dfrac{2}{1}+2=0$。
$\therefore f(x)=|g(x)|-m$ 的图象在 $(1,+\infty)$ 上单增，在 $(0,1)$ 上单减（图像如上图所示），
$\therefore 0<x_{1}<1<x_{2}$，且 $g(x_{1})=-m$，$g(x_{2})=m$。
对于① 依题可知 $m=-\ln x_{1}+\dfrac{2}{x_{1}}-2=\ln x_{2}-\dfrac{2}{x_{2}}+2$，
$\therefore 2m=\ln x_{2}-\ln x_{1}+\left(\dfrac{2}{x_{1}}-\dfrac{2}{x_{2}}\right)>\ln x_{2}-\ln x_{1}=\ln\dfrac{x_{2}}{x_{1}}$，
$\therefore \dfrac{x_{2}}{x_{1}}<e^{2m}$。故①正确。
对于④ 由①可知 $\ln x_{1}x_{2}=\dfrac{2}{x_{1}}+\dfrac{2}{x_{2}}-4=2\cdot\dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}-4>\dfrac{4}{\sqrt{x_{1}x_{2}}}-4$，
$\therefore \ln x_{1}x_{2}-\dfrac{4}{\sqrt{x_{1}x_{2}}}+4>0$。
令 $\sqrt{x_{1}x_{2}}=t$，$g(t)=2\ln t-\dfrac{4}{t}+4$，显然 $g(t)$ 单增且 $g(1)=0$，
$\therefore x_{1}x_{2}>1$。故④正确。
对于② 由①可知 $mx_{1}+2x_{1}-2=-x_{1}\ln x_{1}>0$，
$\therefore x_{1}>\dfrac{2}{m+2}$。故②正确。
对于③ $\because 0<m<3$，
$\therefore 0<\dfrac{m}{3}<1$，$e^{\frac{m}{3}}>1$，$\dfrac{3}{3-m}>1$。
先证 $x_{2}<\dfrac{3}{3-m}$：记 $F(x)=|g(x)|$，则
$F\left(\dfrac{3}{3-m}\right)=\ln\dfrac{3}{3-m}-\dfrac{2(3-m)}{3}+2=\ln\dfrac{3}{3-m}+\dfrac{2m}{3}$，
$\therefore F\left(\dfrac{3}{3-m}\right)-m=\ln\dfrac{3}{3-m}-\dfrac{m}{3}=-\ln(3-m)-\dfrac{m}{3}+\ln 3$。
设 $h(m)=-\ln(3-m)-\dfrac{m}{3}+\ln 3$，则 $h'(m)=\dfrac{1}{3-m}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{m}{3(3-m)}$，
$\therefore 0<m<3$ 时 $h(m)$ 单增且 $h(0)=0$，$\therefore h(m)>0$，
$\therefore F\left(\dfrac{3}{3-m}\right)>m=F(x_{2})$，$\therefore x_{2}<\dfrac{3}{3-m}$。
再证 $x_{2}>e^{\frac{m}{3}}$：$F\left(e^{\frac{m}{3}}\right)=\dfrac{m}{3}-\dfrac{2}{e^{\frac{m}{3}}}+2$，
$m-F\left(e^{\frac{m}{3}}\right)=\dfrac{2m}{3}+\dfrac{2}{e^{\frac{m}{3}}}-2$。令 $\dfrac{m}{3}=t\ (0<t<1)$，则上式 $=2\left(t+\dfrac{1}{e^{t}}-1\right)$，
显然 $\varphi(t)=t+\dfrac{1}{e^{t}}-1$ 单增且 $\varphi(0)=0$，$\therefore \varphi(t)>0$，即 $m>F\left(e^{\frac{m}{3}}\right)$，
$\therefore e^{\frac{m}{3}}<x_{2}<\dfrac{3}{3-m}$。故③正确。
综上，①②③④全部正确。
故选 D。