1．设$a=\frac{1}{2023}{\text{e}}^{\frac{1}{2023}}$，$b=ln\frac{2024}{2023}$，$c=sin(0.2023 {}^{\circ} )$，则（ ）
A．$c>a>b$ B．$a>b>c$ C．$b>a>c$ D．$c>b>a$
解：设$f\left( x \right)=x{\text{e}}^{x} - ln\left( 1+x \right),x \in \left( 0,1 \right)$，则${f}^{'}\left( x \right)=\left( x+1 \right){\text{e}}^{x} - \frac{1}{1+x}$，
设$g\left( x \right)={f}^{'}\left( x \right)=\left( x+1 \right){\text{e}}^{x} - \frac{1}{1+x}$，则${g}^{'}\left( x \right)=\left( x+2 \right){\text{e}}^{x}+\frac{1}{{\left( 1+x \right)}^{2}}>0$恒成立，所以${f}^{'}\left( x \right)$在$\left( 0,1 \right)$上单调递增，
所以${f}^{'}\left( x \right)>{f}^{'}\left( 0 \right)=0$恒成立，则$f\left( x \right)$在$\left( 0,1 \right)$上单调递增，
故$f\left( \frac{1}{2023} \right)=\frac{1}{2023}{\text{e}}^{\frac{1}{2023}} - ln\left( 1+\frac{1}{2023} \right)>f\left( 0 \right)=0$，即$\frac{1}{2023}{\text{e}}^{\frac{1}{2023}}>ln\left( 1+\frac{1}{2023} \right)=ln\frac{2024}{2023}$，所以$a>b$；
因为$\frac{1}{2023} \approx 0.00049432$，$0.2023 {}^{\circ} =\frac{0.2023\mathrm{~\pi~}}{180} \approx 0.00353081>6 \times 0.00049432$，则$0.2023 {}^{\circ} >6 \times \frac{1}{2023}$，
设$h\left( x \right)=x{\text{e}}^{x} - sin6x,x \in \left( 0,\frac{1}{1000} \right)$，则${h}^{'}\left( x \right)=\left( x+1 \right){\text{e}}^{x} - 6cos6x$，又设$m\left( x \right)={h}^{'}\left( x \right)=\left( x+1 \right){\text{e}}^{x} - 6cos6x$，
故${m}^{'}\left( x \right)=\left( x+2 \right){\text{e}}^{x}+12sin6x>0$恒成立，所以${h}^{'}\left( x \right)$在$x \in \left( 0,\frac{1}{1000} \right)$上单调递增，
所以${h}^{'}\left( x \right)<{h}^{'}\left( \frac{1}{1000} \right)=\left( 1+\frac{1}{1000} \right){\text{e}}^{\frac{1}{1000}} - 6cos\frac{1}{1000}<0$恒成立，则$h\left( x \right)$在$\left( 0,\frac{1}{1000} \right)$上单调递减，
则$h\left( \frac{1}{2023} \right)=\frac{1}{2023}{\text{e}}^{\frac{1}{2023}} - sin\left( 6 \times \frac{1}{2023} \right)<h\left( 0 \right)=0$，$\frac{1}{2023}{\text{e}}^{\frac{1}{2023}}<sin\left( 6 \times \frac{1}{2023} \right)$
又$sin\left( 6 \times \frac{1}{2023} \right)<sin\left( 0.2023 {}^{\circ} \right)$，则$\frac{1}{2023}{\text{e}}^{\frac{1}{2023}}<sin\left( 0.2023 {}^{\circ} \right)$，
即$c>a$；
综上，$c>a>b$.
2．已知$a={\text{e}}^{0.1} - 1$，$b=\text{ln}1.1$，$c=\text{tan}0.1$，则( )
A．$c>a>b$ B．$a>c>b$ C．$b>a>c$ D．$a>b>c$
解 ①令$f\left( x \right)={\text{e}}^{x} - 1 - tanx=\frac{{\text{e}}^{x}cosx - cosx - sinx}{cosx},0<x<\frac{\mathrm{~\pi~}}{4}$，
令$g\left( x \right)={\text{e}}^{x}cosx - cosx - sinx$，
${g}^{'}\left( x \right)=\left( - sinx+cosx \right){\text{e}}^{x}+sinx - cosx=\left( {\text{e}}^{x} - 1 \right) \cdot \left( cosx - sinx \right)$，
当$0<x<\frac{\mathrm{~\pi~}}{4}$时，${g}^{'}\left( x \right)>0,g\left( x \right)$单调递增，
又$g\left( 0 \right)=0$，∴$g\left( x \right)>0$，又$cosx>0$，
∴$f\left( x \right)>0$在$\left( 0,\frac{\mathrm{~\pi~}}{4} \right)$成立，∴$f\left( 0.1 \right)>0$，即$a>c$；
②令$h\left( x \right)=\text{ln}\left( x+1 \right) - x$，则${h}^{'}\left( x \right)=\frac{1}{x+1} - 1=\frac{ - x}{x+1}$，
在$x \in \left( 0,\frac{\mathrm{~\pi~}}{2} \right)$时，${h}^{'}\left( x \right)<0$，则$h\left( x \right)$为减函数，
∴$h\left( x \right)<h\left( 0 \right)=0$，即$\text{ln}\left( x+1 \right)<x$；
③令$m\left( x \right)=x - tanx$，则${m}^{'}\left( x \right)=1 - \frac{1}{{cos}^{2}x}>0$，
故$m\left( x \right)$在$x \in \left( 0,\frac{\mathrm{~\pi~}}{2} \right)$为减函数，
∴$m\left( x \right)<m\left( 0 \right)=0$，即$x<\text{tan}x$；
∴$\text{ln}\left( x+1 \right)<x<\text{tan}x,x \in \left( 0,\frac{\mathrm{~\pi~}}{2} \right)$，
令$x=0.1$，则$\text{ln}\left( 0.1+1 \right)<0.1<\text{tan}0.1$，
即$b<0.1<c$，∴$b<c$，∴$b<c<a$．
故选：B．
3．下列不等式不正确的是（ ）
A．$\sqrt{7} - \sqrt{5}<\sqrt{6} - 2$ B．${\mathrm{~\pi~}}^{3.1}<{3.1}^{\mathrm{~\pi~}}$ C．$5sin\frac{1}{5}>cos\frac{1}{10}$ D．${log}_{4}3<{log}_{6}5$
解 易知A正确；
要证${\mathrm{~\pi~}}^{3.1}<{3.1}^{\mathrm{~\pi~}}$，两边取对数得：$\mathrm{3.1ln~\pi~}<\mathrm{~\pi~ln}3.1$，即证$\frac{\mathrm{ln~\pi~}}{\mathrm{~\pi~}}<\frac{ln3.1}{3.1}$，
构造$f\left( x \right)=\frac{lnx}{x}$，$x>\text{e}$，
${f}^{'}\left( x \right)=\frac{1 - lnx}{{x}^{2}}<0$在$x>\text{e}$上恒成立，
故$f\left( x \right)=\frac{lnx}{x}$在$x>\text{e}$上单调递减，
所以$f\left( \mathrm{~\pi~} \right)<f\left( 3.1 \right)$，即$\frac{\mathrm{ln~\pi~}}{\mathrm{~\pi~}}<\frac{ln3.1}{3.1}$，所以${\mathrm{~\pi~}}^{3.1}<{3.1}^{\mathrm{~\pi~}}$，B正确；
因为$5sin\frac{1}{5}=5 \times 2sin\frac{1}{10}cos\frac{1}{10}=10sin\frac{1}{10}cos\frac{1}{10}$，
其中$cos\frac{1}{10}>0$，要证$5sin\frac{1}{5}>cos\frac{1}{10}$，即证$10sin\frac{1}{10}>1$，即$sin\frac{1}{10}>\frac{1}{10}$，
构造$g\left( x \right)=x - sinx$，$x \in \left( 0,\frac{\mathrm{~\pi~}}{2} \right)$，
${g}^{'}\left( x \right)=1 - cosx>0$在$x \in \left( 0,\frac{\mathrm{~\pi~}}{2} \right)$上恒成立，
所以$g\left( x \right)=x - sinx$在$x \in \left( 0,\frac{\mathrm{~\pi~}}{2} \right)$上单调递增
故$g\left( \frac{1}{10} \right)>g\left( 0 \right)=0$，即$\frac{1}{10}>sin\frac{1}{10}$，C错误；
D选项，${log}_{4}3<{log}_{6}5$两边取对数得：$\frac{ln3}{ln4}<\frac{ln5}{ln6}$，
构造$h\left( x \right)=\frac{lnx}{ln\left( x+1 \right)}$，$x>\text{e}$，
${h}^{'}\left( x \right)=\frac{\frac{ln\left( x+1 \right)}{x} - \frac{lnx}{x+1}}{{ln}^{2}\left( x+1 \right)}$，
令$k\left( x \right)=xlnx$，$x>\text{e}$
则${k}^{'}\left( x \right)=lnx+1>0$在$x>\text{e}$上恒成立，故$k\left( x \right)=xlnx$在$x>\text{e}$上单调递增，
故$\left( x+1 \right)ln\left( x+1 \right)>xlnx$，即$\frac{ln\left( x+1 \right)}{x}>\frac{lnx}{x+1}$，
所以${h}^{'}\left( x \right)>0$在$x>\text{e}$上恒成立，
所以$h\left( x \right)=\frac{lnx}{ln\left( x+1 \right)}$在$x>\text{e}$上单调递增，
故$\frac{ln3}{ln4}<\frac{ln5}{ln6}$，结论得证，D正确.
故选：C
- 设，则（ ）
A. B.
C. D.
解 因为，，.
所以.
因为，所以.
构造函数，则，当时，，
所以在上单调递减，则.
因为，所以，
所以，即，
故.
故选：B.