题目：若不等式 $a\mathrm{e}^{ax-1}\geq 1+\ln x$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是＿＿＿＿.
简解：显然 $a>0$
原式可化为 $a\mathrm{e}^{ax}\geq \mathrm{e}\left(1+\ln x\right)=\mathrm{e}\ln\mathrm{e}x$
$\therefore ax\mathrm{e}^{ax}\geq \mathrm{e}x\ln\mathrm{e}x$
$\therefore \mathrm{e}^{ax}\ln\mathrm{e}^{ax}\geq \mathrm{e}x\ln\mathrm{e}x$
设 $f(x)=x\ln x$，则 $f'(x)=1+\ln x$
$\therefore 0<x<\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ 时 $f(x)$ 单减，$x>\dfrac{1}{\mathrm{e}}$ 时 $f(x)$ 单增。
$\therefore x>0$
$\therefore \mathrm{e}^{ax}\geq 1$
$\therefore \mathrm{e}^{ax}\geq \mathrm{e}x$
$\therefore ax\geq \ln x+1$
$\therefore a\geq \dfrac{1+\ln x}{x}$
设 $g(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}$，则 $g'(x)=\dfrac{-\ln x}{x^{2}}$
$\therefore 0<x<1$ 时 $g(x)$ 单增，$x>1$ 时 $g(x)$ 单减。
$\therefore g(x)_{\min}=g(1)=1$
$\therefore a\geq 1$