- 已知 $a = \ln\!\left(1 + \sin \frac{1}{50}\right)$，$b = \sin \frac{1}{49}$，$c = \sin\!\left(\sin \frac{1}{50}\right)$，则
A. $a < b < c$ B. $a < c < b$ C. $c < a < b$ D. $b < c < a$
解：设 $f(x) = x - \sin x,\ x \in (0,1)$，则 $f'(x) = 1 - \cos x > 0$，所以 $f(x) = x - \sin x$ 在 $(0,1)$ 上单调递增。
所以 $0 < x < 1$ 时，$f(x) > f(0) = 0$，即 $x > \sin x$。因为 $1 > \sin \frac{1}{49} > \sin \frac{1}{50} > 0$，所以 $c = \sin\!\left(\sin \frac{1}{50}\right) < \sin \frac{1}{50} < \sin \frac{1}{49} = b$。
设 $F(x) = x - \ln(x+1)$，$x \in (0,1)$，则 $F'(x) = 1 - \frac{1}{x+1} = \frac{x}{x+1} > 0$，所以 $F(x) = x - \ln(x+1)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增。
所以 $F\!\left(\sin \frac{1}{50}\right) > F(0) = 0$，即 $\sin \frac{1}{50} > \ln\!\left(1 + \sin \frac{1}{50}\right)$，即 $b = \sin \frac{1}{49} > \sin \frac{1}{50} > \ln\!\left(1 + \sin \frac{1}{50}\right) = a$。
构造函数 $g(x) = \sin x - \ln(x+1)$，$x \in \left[0, \sin \frac{1}{50}\right]$，则 $g'(x) = \cos x - \frac{1}{x+1}$。
令 $h(x) = \cos x - \frac{1}{x+1}$，$x \in \left[0, \sin \frac{1}{50}\right]$，则 $h'(x) = -\sin x + \frac{1}{(x+1)^2}$。
令 $m(x) = -\sin x + \frac{1}{(x+1)^2}$，$x \in \left[0, \sin \frac{1}{50}\right]$，则 $m'(x) = -\cos x - \frac{2}{(x+1)^3} < 0$，所以 $m(x)$ 在 $\left[0, \sin \frac{1}{50}\right]$ 上单调递减。
可得 $m(x) = h'(x) \ge -\sin\!\left(\sin \frac{1}{50}\right) + \frac{1}{\left(\sin \frac{1}{50} + 1\right)^2} > \left(\frac{50}{51}\right)^2 - \frac{1}{50} > 0$，
所以 $g'(x) = \cos x - \frac{1}{x+1}$ 在 $\left[0, \sin \frac{1}{50}\right]$ 上单调递增，所以 $g'(x) \ge g'(0) = 0$，所以 $g(x)$ 在 $\left[0, \sin \frac{1}{50}\right]$ 上单调递增。
所以 $g\!\left(\sin \frac{1}{50}\right) > g(0) = 0$，即 $c = \sin\!\left(\sin \frac{1}{50}\right) > \ln\!\left(1 + \sin \frac{1}{50}\right) = a$，即 $c > a$。
综上所述，$a < c < b$。