8. 已知函数 $f(x)=xe^x-a(x+\ln x)+3$，对于 $\forall x\in(0,+\infty)$，$f(x)\ge 4$ 恒成立，则满足题意的 $a$ 的取值集合为（ ）
A. $\{0\}$ B. $\{0,1\}$ C. $\{-1,0,1\}$ D. $\{1\}$
解
$xe^x-a(x+\ln x)+3\ge 4$ 恒成立
即 $xe^x-a(\ln e^x+\ln x)+3\ge 4$ 恒成立
即 $a(\ln xe^x)-xe^x+1\le 0$ 恒成立
令 $xe^x=t$
$\therefore a\ln t-t+1\le 0$ 恒成立
设 $g(t)=a\ln t-t+1$，则 $g'(t)=\dfrac{a}{t}-1=\dfrac{a-t}{t}$
$\therefore 0<t<a$ 时，$g(t)$ 单增，$t>a$ 时，$g(t)$ 单减
$\therefore g(t)_{\text{极大值}}=g(a)=a\ln a-a+1\le 0$
设 $h(x)=x\ln x-x+1$，则 $h'(x)=\ln x$
$\therefore x>1$ 时 $h(x)$ 单增，$0<x<1$ 时 $h(x)$ 单减
$\therefore h(x)_{\text{极小值}}=h(1)=0$
$\therefore a\ln a-a+1\ge 0$
$\therefore a\ln a-a+1=0$
$\therefore a=1$
相似题
相似题 1 若关于 $x$ 的不等式 $e^{x-a}\ge \ln x+a$ 对一切正实数 $x$ 恒成立，实数 $a$ 的取值范围是（ C ）
A. $\left(-\infty,\dfrac{1}{e}\right)$ B. $(-\infty,e]$ C. $(-\infty,1]$ D. $(-\infty,2]$
相似题 2 若 $\forall x\in(0,+\infty)$，$\ln(ax)\le \dfrac{e^x}{a}$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为（ C ）
A. $e^{-1}$ B. $1$ C. $e$ D. $e^2$
相似题 3 若对任意 $x\in(0,+\infty)$，不等式 $e^{2x}-m\ln 2m-m\ln x\ge 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值（ B ）
A. $\sqrt{e}$ B. $e$ C. $2e$ D. $e^2$