函数零点 f(x)两个零点 g(x)两个零点

16. 已知函数 $f(x)=xe^{x}-e^{x}-x$ 的两个零点为 $x_{1}$，$x_{2}$，函数 $g(x)=x\ln x-\ln x-x$ 的两个零点为 $x_{3}$，$x_{4}$，则 $\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+\dfrac{1}{x_{3}}+\dfrac{1}{x_{4}}=\underline{\quad\blacktriangle\quad}$。

解： $g(x)=x\ln x-\ln x-x=\ln x\cdot e^{\ln x}-e^{\ln x}-\ln x=f(\ln x)$

$\therefore x_{1}=\ln x_{3}$，$x_{2}=\ln x_{4}$（即 $x_{3}=e^{x_{1}}$，$x_{4}=e^{x_{2}}$）。

又由 $f(t)=0$ 得 $te^{t}=e^{t}+t$，两边同除 $te^{t}$ 得 $\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{e^{t}}=1$，

$\therefore \dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+\dfrac{1}{x_{3}}+\dfrac{1}{x_{4}}=\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+\dfrac{1}{e^{x_{1}}}+\dfrac{1}{e^{x_{2}}}=\dfrac{x_{1}+e^{x_{1}}}{x_{1}e^{x_{1}}}+\dfrac{x_{2}+e^{x_{2}}}{x_{2}e^{x_{2}}}=1+1=2$