已知函数 $f(x)=\sin(x+\alpha)\ (0<\alpha<\pi)$，若 $xf(x)\leqslant\alpha\sin 2\alpha$（$x\in(0,\pi)$），则 $\alpha$ 的取值范围是（　）

⟨注⟩ 题干与选项为行内公式片段，GDI 渲染重叠严重。可辨认：$f(x)=\sin(x+\alpha)$、$0<\alpha<\pi$、$xf(x)\leqslant\alpha\sin 2\alpha$、区间选项 $(0,\tfrac12)$、$(\tfrac12,1)$、$(1,\tfrac32)$、$(\tfrac32,2)$、$y=xf(x)$、$x=\alpha$。按解答逻辑还原：$x=\alpha$ 时 $xf(x)=\alpha\sin 2\alpha$ 恰好取等，故条件即 $g(x)=xf(x)$ 在 $x=\alpha$ 处取得最值，从而 $g'(\alpha)=0$。题干确切表述需对照原文核对。

A. $\left(0,\dfrac{1}{2}\right)$　　B. $\left(\dfrac{1}{2},1\right)$　　C. $\left(1,\dfrac{3}{2}\right)$　　D. $\left(\dfrac{3}{2},2\right)$

解答

设 $g(x)=xf(x)=x\sin(x+\alpha)$，$x\in(0,\pi)$

由 $x=\alpha$ 时 $g(\alpha)=\alpha\sin 2\alpha$（不等式右端），条件即 $g(x)\leqslant g(\alpha)$，故 $x=\alpha$ 应为 $g$ 的最值点：

令 $x=\alpha$：

令 $u=2\alpha$（$u\in(0,2\pi)$），方程化为

记 $\varphi(u)=\sin u+\dfrac{u}{2}\cos u$，逐段检验符号：

$\therefore\ \varphi(u)$ 的零点 $u_0\in(2,3)$（$\varphi$ 在该段单调），即

答案： C

⟨注⟩ 片段 img13（重叠"sin2…cos2…0"）即 $g'(\alpha)=\sin 2\alpha+\alpha\cos 2\alpha=0$；img14 即驻点方程 $\sin(x+\alpha)+x\cos(x+\alpha)=0$；img15～17 为 $\varphi$ 在 $u=1,2,3$ 处的符号检验（img16 红色为草稿标注）；img_19 为结论 $\alpha\in(1,\tfrac32)$。逻辑链完整自洽。