含参绝对值函数 $f(x)=|x-a|+\cos x$ 的值域

题干图字迹重叠严重，依解答反推：若 $f(x)=|x-a|+\cos x\geqslant -1$ 恒成立（对任意 $x\in\mathbb{R}$），且 $f(0)\in\left[-1,\dfrac{3\pi}{2}\right]$（⟨注：题干条件残缺，以下按解答过程还原⟩），求 $\dfrac{b}{a}$（其中 $b$ 为 $f(x)$ 取值为 $\dfrac{3\pi}{2}$ 时对应的自变量）。

解答

解析：$\because\ |x-a|\geqslant 0$，$\cos x\geqslant -1$

又 $\because\ f(x)\geqslant -1$

$\therefore\ a=x=\pi+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$

$\because\ f(0)=|a|+1\in\left[-1,\ \dfrac{3\pi}{2}\right]$

$\therefore\ -2\leqslant a\leqslant\dfrac{3\pi}{2}-1$

$\therefore\ a=\pi$

$\therefore\ f(x)=|x-\pi|+\cos x$

$b<\pi$ 时，$f'(x)=-1-\sin x\leqslant 0$，$f(x)$ 单减，则 $f(0)=\pi+1\neq\dfrac{3\pi}{2}$，舍去

$b\geqslant\pi$ 时，若 $x\geqslant\pi$，$f'(x)=1-\sin x\geqslant 0$，$f(x)$ 单增，则 $f(b)=b-\pi+\cos b=\dfrac{3\pi}{2}$

答案： $\dfrac{b}{a}=\dfrac{5}{2}$